Номер 12, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 12, страница 88.

12 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Формулировка утверждения: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых прямые углы $\angle C$ и $\angle C_1$ равны $90^\circ$.

Пусть по условию гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, и острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle A_1$. То есть, нам дано:

• $AB = A_1B_1$
• $\angle A = \angle A_1$
• $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Поскольку $\triangle ABC$ — прямоугольный, сумма его острых углов составляет $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Отсюда мы можем выразить угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ сумма острых углов $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$, откуда:

$\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$

Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то правые части выражений для углов $\angle B$ и $\angle B_1$ равны. Следовательно, равны и сами углы: $\angle B = \angle B_1$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них:

• $AB = A_1B_1$ (сторона, по условию)
• $\angle A = \angle A_1$ (прилежащий угол, по условию)
• $\angle B = \angle B_1$ (второй прилежащий угол, по доказанному)

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу сформулировано и доказано.