Номер 11, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 11, страница 88.

Условие.

11 Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Требуется доказать, что катет $AC$, лежащий против угла $B$, равен половине гипотенузы $AB$, то есть $AC = \frac{1}{2}AB$.

1. По свойству о сумме углов треугольника, найдем угол $A$: $\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Выполним дополнительное построение. На продолжении катета $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный отрезку $AC$. Соединим точки $B$ и $D$, получив треугольник $ABD$.

3. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$. Они равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников):

• $AC = CD$ по построению.
• $BC$ — общая сторона.
• $\angle ACB = \angle DCB = 90^\circ$ (так как $BC \perp AD$).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DBC$.

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $AB = DB$ и $\angle A = \angle D = 60^\circ$. Также $\angle ABC = \angle DBC = 30^\circ$.

5. Рассмотрим углы треугольника $ABD$: $\angle A = 60^\circ$, $\angle D = 60^\circ$. Угол $\angle ABD$ равен сумме углов $\angle ABC$ и $\angle DBC$, то есть $\angle ABD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

6. Поскольку все углы треугольника $ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

7. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит, $AB = AD$.

8. По построению, длина стороны $AD$ равна $AC + CD$. Так как $AC = CD$, то $AD = 2 \cdot AC$.

9. Заменяя $AD$ на $AB$ в последнем равенстве, получаем $AB = 2 \cdot AC$. Отсюда следует, что $AC = \frac{1}{2}AB$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Формулировка обратного утверждения: Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и катет $AC$ равен половине гипотенузы $AB$, то есть $AC = \frac{1}{2}AB$. Требуется доказать, что угол $B$, лежащий напротив катета $AC$, равен $30^\circ$.

1. Выполним то же построение, что и в предыдущем доказательстве: на продолжении катета $AC$ отложим отрезок $CD = AC$ и соединим точки $B$ и $D$.

2. Треугольники $ABC$ и $DBC$ равны по двум катетам ($BC$ — общий, $AC = CD$ по построению).

3. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны: $AB = DB$.

4. По условию задачи, $AB = 2 \cdot AC$.

5. По построению, $AD = AC + CD = AC + AC = 2 \cdot AC$.

6. Сравнивая равенства из пунктов 4 и 5, получаем, что $AB = AD$.

7. Таким образом, в треугольнике $ABD$ все стороны равны между собой: $AB = DB = AD$. Это значит, что треугольник $ABD$ — равносторонний.

8. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. В частности, $\angle ABD = 60^\circ$.

9. Из равенства треугольников $ABC$ и $DBC$ следует, что их углы равны: $\angle ABC = \angle DBC$.

10. Так как угол $\angle ABD$ состоит из двух равных углов $\angle ABC$ и $\angle DBC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle ABD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Обратное утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен $30^\circ$.