Номер 18, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 18, страница 88.

Условие.

18 Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Требуется доказать, что все точки прямой a находятся на одном и том же расстоянии от прямой b, и наоборот.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.

Доказательство:

Выберем на прямой a две произвольные точки, A и B.

Опустим из этих точек перпендикуляры на прямую b. Пусть C и D — основания этих перпендикуляров, лежащие на прямой b. Таким образом, по построению, $AC \perp b$ и $BD \perp b$. Длины отрезков AC и BD являются расстояниями от точек A и B до прямой b. Нам нужно доказать, что $AC = BD$.

Рассмотрим четырехугольник ABDC.

По условию, прямые a и b параллельны, значит, отрезки AB и CD, лежащие на этих прямых, также параллельны: $AB \parallel CD$.

Так как отрезки AC и BD оба перпендикулярны одной и той же прямой b, то они параллельны друг другу: $AC \parallel BD$.

Поскольку в четырехугольнике ABDC противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $AC \parallel BD$), то этот четырехугольник является параллелограммом.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $AC = BD$.

Так как точки A и B были выбраны на прямой a произвольно, мы доказали, что расстояние от любой точки прямой a до прямой b одинаково.

Аналогично, выбрав две произвольные точки на прямой b и опустив из них перпендикуляры на прямую a, можно доказать, что все точки прямой b равноудалены от прямой a.

Таким образом, все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.