Страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

3 Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника и определениями различных видов углов. Пусть в произвольном треугольнике углы равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Вспомним, что острый угол — это угол меньше $90^\circ$, прямой — равен $90^\circ$, а тупой — больше $90^\circ$.

Докажем, что в любом треугольнике есть по крайней мере два острых угла. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что в треугольнике имеется менее двух острых углов, то есть только один или ни одного. Если бы в треугольнике был только один острый угол (или ни одного), то как минимум два угла были бы не острыми, то есть прямыми или тупыми. Пусть это углы $\beta$ и $\gamma$. Тогда $\beta \ge 90^\circ$ и $\gamma \ge 90^\circ$.

Их сумма была бы $\beta + \gamma \ge 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма всех трех углов треугольника равна $180^\circ$, то для третьего угла $\alpha$ остается $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$. Так как $\beta + \gamma \ge 180^\circ$, то для угла $\alpha$ получается $\alpha \le 0^\circ$. Но угол в треугольнике должен быть строго положительным. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно, и в любом треугольнике всегда есть как минимум два острых угла.

Теперь, когда мы установили, что в любом треугольнике есть как минимум два острых угла, рассмотрим третий угол. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два острых угла. Для третьего угла $\gamma$ возможны следующие варианты:

1. Третий угол $\gamma$ является острым ($\gamma < 90^\circ$). В этом случае все три угла треугольника — острые. Это соответствует первой части утверждения: "либо все углы острые".

2. Третий угол $\gamma$ является прямым ($\gamma = 90^\circ$) или тупым ($\gamma > 90^\circ$). В этом случае в треугольнике два острых угла, а третий — прямой или тупой. Это соответствует второй части утверждения: "либо два угла острые, а третий тупой или прямой".

Так как других вариантов для третьего угла нет, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. В основе доказательства лежит тот факт, что в треугольнике не может быть двух углов, которые не являются острыми (т.е. прямых или тупых), так как их сумма была бы равна или превышала $180^\circ$, что невозможно для углов одного треугольника. Следовательно, в треугольнике всегда есть как минимум два острых угла. Третий же угол определяет тип треугольника: если он острый — все углы острые; если он прямой или тупой — то в треугольнике два острых угла и один прямой или тупой.

4 Какой треугольник называется остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным?

Какой треугольник называется остроугольным? Треугольник называется остроугольным, если все три его внутренних угла являются острыми. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Таким образом, если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — это углы треугольника, то для остроугольного треугольника должны одновременно выполняться три условия: $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$.
Ответ: Треугольник, у которого все углы острые.

Какой треугольник называется тупоугольным? Треугольник называется тупоугольным, если один из его внутренних углов является тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. В треугольнике может быть только один тупой угол, поскольку сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$. Если один из углов, например $\alpha$, является тупым ($\alpha > 90^\circ$), то два других угла обязательно будут острыми.
Ответ: Треугольник, у которого один из углов тупой.

5 Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Какой треугольник называется прямоугольным?

Прямоугольным называется треугольник, у которого один из внутренних углов является прямым. Прямой угол — это угол, градусная мера которого составляет $90^\circ$. Так как сумма всех углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то два других угла в прямоугольном треугольнике всегда являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. Сумма этих двух острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ответ: Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Стороны прямоугольного треугольника носят специальные названия, зависящие от их положения относительно прямого угла:

1. Катеты — это две стороны, которые прилегают к прямому углу (образуют его).

2. Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.

Длины сторон прямоугольного треугольника связаны между собой теоремой Пифагора. Она гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если обозначить длины катетов как a и b, а длину гипотенузы как c, то эта зависимость выражается формулой: $a^2 + b^2 = c^2$.

Ответ: Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

6 Докажите, что в треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит бо€льшая сторона.

1) против большей стороны лежит больший угол;

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть сторона $AC$ этого треугольника больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$. Докажем, что угол $\angle B$, лежащий против стороны $AC$, больше угла $\angle C$, лежащего против стороны $AB$.

Для доказательства используем метод геометрического построения. Отложим на большей стороне $AC$ от вершины $A$ отрезок $AD$, равный по длине стороне $AB$. Так как по условию $AC > AB$, точка $D$ будет лежать между точками $A$ и $C$.

Соединим точки $B$ и $D$. В результате построения мы получили треугольник $\triangle ABD$. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку две его стороны равны: $AB = AD$ по построению. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ABD = \angle ADB$.

Теперь рассмотрим угол $\angle ADB$. Он является внешним углом для треугольника $\triangle BDC$. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, $\angle ADB > \angle C$ (где $\angle C$ это $\angle BCD$).

Так как мы установили, что $\angle ABD = \angle ADB$, мы можем заменить $\angle ADB$ в предыдущем неравенстве и получить, что $\angle ABD > \angle C$.

Рассмотрим угол $\angle B$ исходного треугольника $\triangle ABC$. Он состоит из двух углов: $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Так как $\angle DBC$ — это угол треугольника, его градусная мера положительна. Отсюда следует, что $\angle B$ больше своей части, то есть $\angle B > \angle ABD$.

Мы получили следующую цепочку неравенств: $\angle B > \angle ABD$ и $\angle ABD > \angle C$. Из этого логически следует, что $\angle B > \angle C$.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике против большей стороны ($AC$) лежит больший угол ($\angle B$).

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Докажем это утверждение, которое является обратным к первому, методом от противного.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$, в котором угол $\angle B$ больше угла $\angle C$, то есть $\angle B > \angle C$. Нам нужно доказать, что сторона $AC$, лежащая против угла $\angle B$, больше стороны $AB$, лежащей против угла $\angle C$.

Предположим, что наше утверждение неверно. То есть, предположим, что сторона $AC$ не больше стороны $AB$, что означает $AC \le AB$. Это предположение можно разбить на два случая:

1. Сторона $AC$ равна стороне $AB$ ($AC = AB$). Если стороны равны, то треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, также равны. Следовательно, $\angle B = \angle C$. Это прямо противоречит нашему исходному условию, что $\angle B > \angle C$. Значит, этот случай невозможен.
2. Сторона $AC$ меньше стороны $AB$ ($AC < AB$). Согласно теореме, доказанной в пункте 1, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Если $AB > AC$, то и угол, лежащий против стороны $AB$ (то есть $\angle C$), должен быть больше угла, лежащего против стороны $AC$ (то есть $\angle B$). Таким образом, должно выполняться неравенство $\angle C > \angle B$. Это также прямо противоречит нашему исходному условию, что $\angle B > \angle C$. Значит, и этот случай невозможен.

Поскольку оба случая, вытекающие из нашего предположения ($AC \le AB$), привели нас к противоречию с условием задачи, наше первоначальное предположение было неверным. Единственной оставшейся возможностью является то, что $AC > AB$.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

7 Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два основных подхода: один основан на свойствах углов и сторон треугольника (геометрический), а другой — на теореме Пифагора (алгебраический).

Способ 1: Геометрическое доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $, в котором $ \angle C $ — прямой, то есть $ \angle C = 90^\circ $. В этом треугольнике стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, для $ \triangle ABC $ справедливо равенство:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $

Подставим известное значение $ \angle C = 90^\circ $:

$ \angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ $

Отсюда получаем, что сумма двух острых углов равна $ \angle A + \angle B = 90^\circ $.

Так как в невырожденном треугольнике углы положительны ($ \angle A > 0^\circ $ и $ \angle B > 0^\circ $), то каждый из этих углов строго меньше $90^\circ$. Таким образом, прямой угол $ \angle C $ является наибольшим углом в треугольнике:

$ \angle C > \angle A $ и $ \angle C > \angle B $.

В геометрии есть теорема, которая гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Применим эту теорему к нашему треугольнику:

• Сторона $AB$ (гипотенуза) лежит против наибольшего угла $ \angle C $.
• Сторона $BC$ (катет) лежит против угла $ \angle A $.
• Сторона $AC$ (катет) лежит против угла $ \angle B $.

Так как $ \angle C > \angle A $, то сторона $AB$ больше стороны $BC$, то есть $ AB > BC $.

Так как $ \angle C > \angle B $, то сторона $AB$ больше стороны $AC$, то есть $ AB > AC $.

Мы доказали, что гипотенуза $AB$ больше каждого из катетов, $AC$ и $BC$.

Ответ: Доказано, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.

Способ 2: Алгебраическое доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Обозначим длины его катетов как $a$ и $b$, а длину гипотенузы — как $c$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$ c^2 = a^2 + b^2 $

Длины сторон треугольника — это положительные числа, поэтому $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, их квадраты также строго положительны: $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.

Теперь сравним гипотенузу $c$ с каждым из катетов.

1. Сравним $c$ и $a$. Из теоремы Пифагора мы знаем, что $c^2 = a^2 + b^2$. Поскольку $b^2 > 0$, мы можем утверждать, что $c^2 > a^2$. Так как длины сторон $c$ и $a$ положительны, можно извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$ \sqrt{c^2} > \sqrt{a^2} $

$ c > a $

2. Сравним $c$ и $b$. Аналогично, из $c^2 = a^2 + b^2$ и того факта, что $a^2 > 0$, следует, что $c^2 > b^2$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$ \sqrt{c^2} > \sqrt{b^2} $

$ c > b $

Таким образом, мы показали, что длина гипотенузы $c$ больше длины любого из катетов ($a$ или $b$).

Ответ: Доказано, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.

8 Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Это утверждение является признаком равнобедренного треугольника. Докажем его.

Дано:

Дан треугольник $ABC$, в котором два угла равны. Пусть это будут углы при основании $AC$, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Доказать:

Треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $CBA$. Это один и тот же треугольник, но мы сопоставим его вершины в разном порядке, чтобы доказать равенство.

Сравним треугольник $ABC$ и треугольник $CBA$:

1. $\angle BAC = \angle BCA$ по условию задачи.
2. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна стороне $CA$ треугольника $CBA$, так как это одна и та же сторона (общая сторона).
3. $\angle BCA = \angle BAC$ по условию задачи.

Таким образом, треугольник $ABC$ равен треугольнику $CBA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BCA$. В равном ему треугольнике $CBA$ соответствующая сторона $CB$ лежит напротив угла $\angle BAC$.

Поскольку $\angle BCA = \angle BAC$, то и противолежащие им стороны должны быть равны: $AB = CB$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. На основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) было показано, что если в треугольнике два угла равны, то стороны, лежащие против этих углов, также равны, и, следовательно, треугольник является равнобедренным.

9 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$ и $C$, как $a$, $b$ и $c$ соответственно (то есть $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$). Нам нужно доказать, что любая сторона этого треугольника меньше суммы двух других. Достаточно доказать одно из трех неравенств, например, $c < a + b$ (или $AB < BC + AC$), так как остальные доказываются аналогично.

Построение: На луче, который является продолжением стороны $AC$ за точку $C$, отложим отрезок $CD$, длина которого равна длине стороны $BC$. Таким образом, $CD = BC = a$. Соединим точки $B$ и $D$.

Доказательство:

1. Рассмотрим полученный треугольник $BCD$. По построению $BC = CD$, следовательно, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB$.
2. Угол $\angle ABD$ является суммой углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$. Значит, $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Так как $\angle ABC$ — это угол треугольника и его градусная мера больше нуля, то очевидно, что $\angle ABD > \angle CBD$.
3. Используя равенство из пункта 1 и неравенство из пункта 2, получаем: $\angle ABD > \angle CDB$.
4. Теперь рассмотрим большой треугольник $ABD$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABD$ угол $\angle ABD$ больше угла $\angle CDB$ (который также является углом $\angle ADB$). Следовательно, сторона $AD$, лежащая напротив угла $\angle ABD$, больше стороны $AB$, лежащей напротив угла $\angle ADB$. То есть, $AD > AB$.
5. Длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$. Мы знаем, что $AC = b$, а по нашему построению $CD = a$. Таким образом, $AD = AC + CD = b + a$.
6. Подставив это выражение в неравенство из пункта 4, получаем: $b + a > AB$, что эквивалентно $a + b > c$.

Мы доказали, что сторона $AB$ меньше суммы сторон $AC$ и $BC$. Аналогичным образом, откладывая отрезки на продолжениях других сторон, можно доказать, что $a < b + c$ и $b < a + c$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон.

Что такое неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это фундаментальное свойство геометрии, которое формулирует необходимое и достаточное условие существования треугольника с заданными длинами сторон. Оно гласит, что для любого существующего треугольника длина каждой его стороны всегда меньше суммы длин двух других сторон.

Математически для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ неравенство треугольника записывается в виде системы из трех неравенств:

• $a < b + c$
• $b < a + c$
• $c < a + b$

Например, из отрезков длиной 3, 4 и 5 можно составить треугольник, потому что выполняются все три условия: $3 < 4+5$ (то есть $3 < 9$), $4 < 3+5$ (то есть $4 < 8$), и $5 < 3+4$ (то есть $5 < 7$). А из отрезков длиной 3, 4 и 8 составить треугольник невозможно, так как не выполняется неравенство $8 < 3+4$ (неравенство $8 < 7$ является ложным).

Следствием этой теоремы является то, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон. Например, из $a < b + c$ следует $a - b < c$, а из $b < a + c$ следует $b - a < c$, что вместе дает $|a-b| < c$. Таким образом, для любой стороны, например $c$, должно выполняться двойное неравенство: $|a - b| < c < a + b$.

Ответ: Неравенство треугольника — это теорема, утверждающая, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Для сторон $a, b, c$ это выражается системой неравенств $a < b+c$, $b < a+c$, $c < a+b$.

10 Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник. Пусть его углы будут $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

По определению, прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть его градусная мера равна $90^\circ$. Допустим, что $\gamma$ — это прямой угол, тогда $\gamma = 90^\circ$.

Два других угла, $\alpha$ и $\beta$, по определению, являются острыми, так как они должны быть меньше $90^\circ$. Нам необходимо доказать, что их сумма равна $90^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Для доказательства воспользуемся основной теоремой о сумме углов треугольника. Эта теорема гласит, что сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для нашего треугольника это можно записать в виде уравнения:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Теперь подставим в это уравнение известное значение прямого угла $\gamma = 90^\circ$:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Чтобы найти сумму острых углов ($\alpha + \beta$), перенесем $90^\circ$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ$

Выполнив вычитание, получаем:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Это следует из теоремы о сумме углов треугольника ($180^\circ$). Если вычесть из этой суммы величину прямого угла ($90^\circ$), то на сумму двух оставшихся острых углов придется ровно $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

11 Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Требуется доказать, что катет $AC$, лежащий против угла $B$, равен половине гипотенузы $AB$, то есть $AC = \frac{1}{2}AB$.

1. По свойству о сумме углов треугольника, найдем угол $A$: $\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Выполним дополнительное построение. На продолжении катета $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный отрезку $AC$. Соединим точки $B$ и $D$, получив треугольник $ABD$.

3. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$. Они равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников):

• $AC = CD$ по построению.
• $BC$ — общая сторона.
• $\angle ACB = \angle DCB = 90^\circ$ (так как $BC \perp AD$).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DBC$.

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $AB = DB$ и $\angle A = \angle D = 60^\circ$. Также $\angle ABC = \angle DBC = 30^\circ$.

5. Рассмотрим углы треугольника $ABD$: $\angle A = 60^\circ$, $\angle D = 60^\circ$. Угол $\angle ABD$ равен сумме углов $\angle ABC$ и $\angle DBC$, то есть $\angle ABD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

6. Поскольку все углы треугольника $ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

7. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит, $AB = AD$.

8. По построению, длина стороны $AD$ равна $AC + CD$. Так как $AC = CD$, то $AD = 2 \cdot AC$.

9. Заменяя $AD$ на $AB$ в последнем равенстве, получаем $AB = 2 \cdot AC$. Отсюда следует, что $AC = \frac{1}{2}AB$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Формулировка обратного утверждения: Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и катет $AC$ равен половине гипотенузы $AB$, то есть $AC = \frac{1}{2}AB$. Требуется доказать, что угол $B$, лежащий напротив катета $AC$, равен $30^\circ$.

1. Выполним то же построение, что и в предыдущем доказательстве: на продолжении катета $AC$ отложим отрезок $CD = AC$ и соединим точки $B$ и $D$.

2. Треугольники $ABC$ и $DBC$ равны по двум катетам ($BC$ — общий, $AC = CD$ по построению).

3. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны: $AB = DB$.

4. По условию задачи, $AB = 2 \cdot AC$.

5. По построению, $AD = AC + CD = AC + AC = 2 \cdot AC$.

6. Сравнивая равенства из пунктов 4 и 5, получаем, что $AB = AD$.

7. Таким образом, в треугольнике $ABD$ все стороны равны между собой: $AB = DB = AD$. Это значит, что треугольник $ABD$ — равносторонний.

8. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. В частности, $\angle ABD = 60^\circ$.

9. Из равенства треугольников $ABC$ и $DBC$ следует, что их углы равны: $\angle ABC = \angle DBC$.

10. Так как угол $\angle ABD$ состоит из двух равных углов $\angle ABC$ и $\angle DBC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle ABD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Обратное утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен $30^\circ$.

12 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Формулировка утверждения: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых прямые углы $\angle C$ и $\angle C_1$ равны $90^\circ$.

Пусть по условию гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, и острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle A_1$. То есть, нам дано:

• $AB = A_1B_1$
• $\angle A = \angle A_1$
• $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Поскольку $\triangle ABC$ — прямоугольный, сумма его острых углов составляет $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Отсюда мы можем выразить угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ сумма острых углов $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$, откуда:

$\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$

Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то правые части выражений для углов $\angle B$ и $\angle B_1$ равны. Следовательно, равны и сами углы: $\angle B = \angle B_1$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них:

• $AB = A_1B_1$ (сторона, по условию)
• $\angle A = \angle A_1$ (прилежащий угол, по условию)
• $\angle B = \angle B_1$ (второй прилежащий угол, по доказанному)

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу сформулировано и доказано.

13 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Формулировка утверждения (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ — прямые.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные, т.е. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
2. $AB = A_1B_1$ (гипотенузы равны).
3. $AC = A_1C_1$ (катеты равны).

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ход доказательства:
Приложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ к треугольнику $\triangle ABC$ так, чтобы их равные катеты $AC$ и $A_1C_1$ совпали, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$.

Так как углы $\angle ACB$ и $\angle A_1C_1B_1$ (теперь $\angle ACB_1$) прямые, то угол $\angle BCB_1$ будет развернутым: $\angle BCB_1 = \angle ACB + \angle ACB_1 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $B$, $C$ и $B_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ABB_1$. В этом треугольнике боковые стороны $AB$ и $AB_1$ равны, так как по условию гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$. Следовательно, треугольник $\triangle ABB_1$ является равнобедренным с основанием $BB_1$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а значит, острый угол $\angle B$ треугольника $\triangle ABC$ равен острому углу $\angle B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них равны гипотенузы ($AB = A_1B_1$) и по одному острому углу ($\angle B = \angle B_1$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по признаку равенства по гипотенузе и острому углу.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказано, что если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

14 Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведённой из данной точки к данной прямой, и какой отрезок называется проекцией наклонной.

Для определения понятий наклонной и её проекции рассмотрим прямую $a$ и точку $A$, которая не лежит на этой прямой.
Сначала проведём из точки $A$ перпендикуляр к прямой $a$. Пусть $H$ — точка их пересечения (основание перпендикуляра). Таким образом, отрезок $AH$ — это перпендикуляр к прямой $a$.

Наклонная, проведённая из данной точки к данной прямой
Теперь выберем на прямой $a$ любую точку $M$, которая не совпадает с точкой $H$. Отрезок $AM$, который соединяет данную точку $A$ с точкой $M$ на прямой, и называется наклонной, проведённой из точки $A$ к прямой $a$. Точка $M$ называется основанием наклонной.
Ответ: Наклонной, проведённой из данной точки к данной прямой, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, отличной от основания перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту прямую.

Проекция наклонной
Используя те же точки, отрезком, соединяющим основание перпендикуляра ($H$) и основание наклонной ($M$), является отрезок $HM$. Этот отрезок и называется проекцией наклонной $AM$ на прямую $a$. Таким образом, проекция наклонной — это отрезок, лежащий на прямой, к которой проведена наклонная.
Ответ: Проекцией наклонной является отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной, проведённых из одной и той же точки к данной прямой.

15 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $a$, где $H$ – основание перпендикуляра, точка на прямой $a$. Также проведём из точки $A$ произвольную наклонную $AM$ к прямой $a$, где $M$ – точка на прямой $a$, не совпадающая с точкой $H$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $H$ и $M$. Это треугольник $\triangle AHM$.

По определению перпендикуляра, отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $a$. Так как точки $H$ и $M$ лежат на прямой $a$, то отрезок $AH$ перпендикулярен отрезку $HM$. Следовательно, угол $\angle AHM$ является прямым, то есть $\angle AHM = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AHM$ – прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $AH$ является катетом, а отрезок $AM$ – гипотенузой, так как он лежит напротив прямого угла $\angle AHM$.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Это можно доказать двумя способами:
1. По теореме Пифагора: $AM^2 = AH^2 + HM^2$. Так как точка $M$ не совпадает с $H$, длина отрезка $HM$ больше нуля ($HM > 0$), следовательно, $HM^2 > 0$. Тогда $AM^2 > AH^2$, из чего следует, что $AM > AH$.
2. Через соотношение сторон и углов в треугольнике. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В $\triangle AHM$ имеем $\angle AMH + \angle HAM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что углы $\angle AMH$ и $\angle HAM$ острые (меньше $90^\circ$). Значит, угол $\angle AHM = 90^\circ$ является наибольшим углом в треугольнике $\triangle AHM$.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle AHM$ – наибольший угол, то противолежащая ему сторона $AM$ (гипотенуза) является наибольшей стороной треугольника. В частности, она длиннее катета $AH$, который лежит против острого угла $\angle AMH$.

Следовательно, мы доказали, что $AH < AM$.

Поскольку $AM$ была выбрана как произвольная наклонная, данное неравенство справедливо для любой наклонной, проведённой из точки $A$ к прямой $a$. Таким образом, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Перпендикуляр, наклонная и её проекция на прямую образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр является катетом, а наклонная — гипотенузой. Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, то и любая наклонная, проведённая из точки к прямой, всегда длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки.

16 Докажите, что любая наклонная, проведённая из данной точки к данной прямой, меньше суммы перпендикуляра, проведённого из той же точки к этой прямой, и проекции наклонной.

Доказательство

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой.

Проведем из точки $A$ к прямой $a$ перпендикуляр $AH$, где $H$ — основание перпендикуляра.

Проведем из точки $A$ к прямой $a$ произвольную наклонную $AB$. Точка $B$ лежит на прямой $a$ и не совпадает с точкой $H$.

В данной задаче:

• $AB$ — наклонная.
• $AH$ — перпендикуляр.
• $HB$ — проекция наклонной $AB$ на прямую $a$.

Необходимо доказать, что $AB < AH + HB$.

Рассмотрим треугольник $AHB$. Так как $AH$ является перпендикуляром к прямой $a$, то угол $\angle AHB$ — прямой, то есть $\angle AHB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AHB$ является прямоугольным.

Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Применим это свойство к стороне $AB$ треугольника $AHB$:

$AB < AH + HB$

Это неравенство и доказывает исходное утверждение: длина наклонной ($AB$) меньше суммы длин перпендикуляра ($AH$) и проекции этой наклонной ($HB$).

Ответ: Утверждение доказано на основе неравенства треугольника.

17 Что называется расстоянием от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного (опущенного) из этой точки на данную прямую.

Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим его подробно:

1. Представим себе точку $A$ и прямую $a$, на которой эта точка не лежит. Мы можем соединить точку $A$ с любой точкой на прямой $a$ с помощью отрезка. Таких отрезков можно провести бесконечно много.

2. Среди всех этих отрезков существует только один, который будет перпендикулярен прямой $a$. Назовем его $AH$, где $H$ — это точка на прямой $a$. Отрезок $AH$ образует с прямой $a$ прямой угол (то есть $\angle AHA_1 = 90^{\circ}$, где $A_1$ — любая другая точка на прямой $a$). Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.

3. Все остальные отрезки, соединяющие точку $A$ с другими точками на прямой $a$ (например, отрезок $AM$, где $M \neq H$), называются наклонными.

4. Ключевое свойство, доказанное в геометрии, гласит: длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, всегда меньше длины любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. То есть, $AH < AM$ для любой точки $M$ на прямой $a$, не совпадающей с $H$.

Таким образом, расстояние от точки до прямой — это самое короткое из всех возможных расстояний от этой точки до точек, лежащих на прямой.

В аналитической геометрии, если точка задана координатами $A(x_0, y_0)$, а прямая — общим уравнением $Ax + By + C = 0$, то расстояние $d$ можно вычислить по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Ответ: Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту прямую.

18 Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Требуется доказать, что все точки прямой a находятся на одном и том же расстоянии от прямой b, и наоборот.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.

Доказательство:

Выберем на прямой a две произвольные точки, A и B.

Опустим из этих точек перпендикуляры на прямую b. Пусть C и D — основания этих перпендикуляров, лежащие на прямой b. Таким образом, по построению, $AC \perp b$ и $BD \perp b$. Длины отрезков AC и BD являются расстояниями от точек A и B до прямой b. Нам нужно доказать, что $AC = BD$.

Рассмотрим четырехугольник ABDC.

По условию, прямые a и b параллельны, значит, отрезки AB и CD, лежащие на этих прямых, также параллельны: $AB \parallel CD$.

Так как отрезки AC и BD оба перпендикулярны одной и той же прямой b, то они параллельны друг другу: $AC \parallel BD$.

Поскольку в четырехугольнике ABDC противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $AC \parallel BD$), то этот четырехугольник является параллелограммом.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $AC = BD$.

Так как точки A и B были выбраны на прямой a произвольно, мы доказали, что расстояние от любой точки прямой a до прямой b одинаково.

Аналогично, выбрав две произвольные точки на прямой b и опустив из них перпендикуляры на прямую a, можно доказать, что все точки прямой b равноудалены от прямой a.

Таким образом, все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

19 Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной прямой к другой прямой.

Это определение можно разложить на несколько ключевых положений:

• Параллельные прямые. Речь идет о двух прямых, лежащих в одной плоскости и не имеющих общих точек. Обозначим их как прямая $a$ и прямая $b$, так что $a \parallel b$.
• Произвольная точка. Для нахождения расстояния можно выбрать абсолютно любую точку на одной из прямых. Поскольку прямые параллельны, расстояние между ними постоянно по всей их длине.
• Перпендикуляр. Расстояние — это не длина любого отрезка, соединяющего прямые, а именно длина перпендикуляра. Перпендикуляр — это отрезок, образующий с прямой, на которую он опущен, прямой угол ($90^\circ$). Длина перпендикуляра является кратчайшим расстоянием от точки до прямой.

Пошаговое объяснение:

1. Возьмем две параллельные прямые $a$ и $b$.
2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$.
3. Из точки $M$ опустим перпендикуляр $MH$ на прямую $b$. Это означает, что отрезок $MH$ образует с прямой $b$ прямой угол, а точка $H$ лежит на прямой $b$.
4. Длина полученного отрезка $MH$ и есть расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$.

Если бы мы выбрали другую точку $M_1$ на прямой $a$ и опустили из нее перпендикуляр $M_1H_1$ на прямую $b$, то длина отрезка $M_1H_1$ была бы равна длине отрезка $MH$. Это гарантируется свойствами параллельных прямых в евклидовой геометрии.

Ответ: Расстоянием между двумя параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, то есть длина отрезка, проведенного из любой точки одной прямой перпендикулярно к другой прямой.

20 Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть две части: прямую и обратную теоремы. Обозначим данную прямую как $a$, а заданное расстояние как $h$. Искомое множество точек, находящихся на расстоянии $h$ от прямой $a$ и по одну сторону от нее, назовем множеством $M$.

1. Докажем, что любая точка из множества $M$ принадлежит некоторой прямой, параллельной $a$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $A$ и проведем через нее перпендикуляр к прямой $a$. На этом перпендикуляре, по заданную сторону от $a$, отложим отрезок $AB$ длиной $h$. Таким образом, точка $B$ находится на расстоянии $h$ от прямой $a$ ($AB=h$ и $AB \perp a$), а значит, $B \in M$.

Проведем через точку $B$ прямую $b$, параллельную прямой $a$. Теперь докажем, что любая точка $P \in M$ лежит на этой прямой $b$.

Пусть $P$ — произвольная точка из множества $M$. По определению, расстояние от $P$ до прямой $a$ равно $h$. Это расстояние измеряется по перпендикуляру, опущенному из точки $P$ на прямую $a$. Пусть $C$ — основание этого перпендикуляра. Тогда $PC = h$ и $PC \perp a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCP$. В нем стороны $AB$ и $PC$ обе перпендикулярны прямой $a$, следовательно, они параллельны друг другу: $AB \parallel PC$. Кроме того, их длины равны: $AB = PC = h$.

Поскольку в четырехугольнике $ABCP$ две противоположные стороны ($AB$ и $PC$) равны и параллельны, этот четырехугольник является параллелограммом. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны $AP$ и $BC$ также параллельны, а главное, сторона $BP$ лежит на прямой, параллельной стороне $AC$, которая, в свою очередь, лежит на прямой $a$. Таким образом, прямая, проходящая через точки $B$ и $P$, параллельна прямой $a$.

Но через точку $B$ можно провести только одну прямую, параллельную $a$. Это и есть построенная нами прямая $b$. Следовательно, точка $P$ принадлежит прямой $b$. Так как $P$ была выбрана произвольно из множества $M$, то все точки этого множества лежат на прямой $b$.

2. Докажем, что любая точка прямой $b$ принадлежит множеству $M$.

Теперь возьмем произвольную точку $Q$ на прямой $b$. Нам нужно показать, что расстояние от точки $Q$ до прямой $a$ равно $h$ и что $Q$ лежит на заданной стороне от $a$.

Поскольку прямая $b$ была построена через точку $B$ и параллельна $a$, все точки прямой $b$ лежат в той же полуплоскости относительно прямой $a$, что и точка $B$. Это удовлетворяет второму условию.

Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ постоянно. Мы знаем, что расстояние от точки $B \in b$ до прямой $a$ равно длине перпендикуляра $AB$, то есть $h$. Следовательно, расстояние от любой точки прямой $b$ до прямой $a$ также равно $h$.

Таким образом, для любой точки $Q$ на прямой $b$ расстояние до прямой $a$ равно $h$, и она находится на нужной стороне. Это означает, что любая точка прямой $b$ принадлежит множеству $M$.

Из двух доказанных частей следует, что множество $M$ в точности совпадает с множеством точек прямой $b$. Это доказывает, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Искомое множество точек действительно является прямой, параллельной данной.

21 Что такое геометрическое место точек? Приведите пример.

Что такое геометрическое место точек?

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) называется множество всех точек (обычно на плоскости или в пространстве), которые обладают одним и тем же определенным свойством или удовлетворяют заданному условию.

Чтобы доказать, что некоторая фигура является геометрическим местом точек, нужно установить два факта:
1) Каждая точка данной фигуры обладает заданным свойством.
2) Каждая точка, обладающая заданным свойством, принадлежит этой фигуре. Никакая точка вне фигуры этим свойством не обладает.

Таким образом, ГМТ — это способ задания геометрической фигуры через общее характеристическое свойство всех ее точек.

Ответ: Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, которые удовлетворяют одному или нескольким заданным условиям (свойствам).

Приведите пример.

Классическим примером геометрического места точек является окружность.
Свойство: находиться на заданном расстоянии $R$ (радиус) от заданной точки $O$ (центр).
Описание: Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром. Если точка $M$ принадлежит окружности с центром $O$ и радиусом $R$, то расстояние от $O$ до $M$ равно $R$. Это записывается в виде формулы: $OM = R$. Любая точка, для которой это равенство выполняется, лежит на окружности, а любая точка, для которой оно не выполняется, — не лежит.

Другие примеры ГМТ:
- Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ — это ГМТ, равноудаленных от точек $A$ и $B$. Для любой точки $P$ на нем выполняется равенство $PA = PB$.
- Биссектриса угла — это ГМТ, расположенных внутри угла и равноудаленных от его сторон.

Ответ: Примером геометрического места точек является окружность. Это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом заданном расстоянии $R$ (радиус) от одной заданной точки $O$ (центр).