Номер 10, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 10, страница 88.

Условие.

10 Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник. Пусть его углы будут $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

По определению, прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть его градусная мера равна $90^\circ$. Допустим, что $\gamma$ — это прямой угол, тогда $\gamma = 90^\circ$.

Два других угла, $\alpha$ и $\beta$, по определению, являются острыми, так как они должны быть меньше $90^\circ$. Нам необходимо доказать, что их сумма равна $90^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Для доказательства воспользуемся основной теоремой о сумме углов треугольника. Эта теорема гласит, что сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для нашего треугольника это можно записать в виде уравнения:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Теперь подставим в это уравнение известное значение прямого угла $\gamma = 90^\circ$:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Чтобы найти сумму острых углов ($\alpha + \beta$), перенесем $90^\circ$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ$

Выполнив вычитание, получаем:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Это следует из теоремы о сумме углов треугольника ($180^\circ$). Если вычесть из этой суммы величину прямого угла ($90^\circ$), то на сумму двух оставшихся острых углов придется ровно $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.