Номер 15, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 15, страница 88.

Условие.

15 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $a$, где $H$ – основание перпендикуляра, точка на прямой $a$. Также проведём из точки $A$ произвольную наклонную $AM$ к прямой $a$, где $M$ – точка на прямой $a$, не совпадающая с точкой $H$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $H$ и $M$. Это треугольник $\triangle AHM$.

По определению перпендикуляра, отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $a$. Так как точки $H$ и $M$ лежат на прямой $a$, то отрезок $AH$ перпендикулярен отрезку $HM$. Следовательно, угол $\angle AHM$ является прямым, то есть $\angle AHM = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AHM$ – прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $AH$ является катетом, а отрезок $AM$ – гипотенузой, так как он лежит напротив прямого угла $\angle AHM$.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Это можно доказать двумя способами:
1. По теореме Пифагора: $AM^2 = AH^2 + HM^2$. Так как точка $M$ не совпадает с $H$, длина отрезка $HM$ больше нуля ($HM > 0$), следовательно, $HM^2 > 0$. Тогда $AM^2 > AH^2$, из чего следует, что $AM > AH$.
2. Через соотношение сторон и углов в треугольнике. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В $\triangle AHM$ имеем $\angle AMH + \angle HAM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что углы $\angle AMH$ и $\angle HAM$ острые (меньше $90^\circ$). Значит, угол $\angle AHM = 90^\circ$ является наибольшим углом в треугольнике $\triangle AHM$.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle AHM$ – наибольший угол, то противолежащая ему сторона $AM$ (гипотенуза) является наибольшей стороной треугольника. В частности, она длиннее катета $AH$, который лежит против острого угла $\angle AMH$.

Следовательно, мы доказали, что $AH < AM$.

Поскольку $AM$ была выбрана как произвольная наклонная, данное неравенство справедливо для любой наклонной, проведённой из точки $A$ к прямой $a$. Таким образом, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Перпендикуляр, наклонная и её проекция на прямую образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр является катетом, а наклонная — гипотенузой. Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, то и любая наклонная, проведённая из точки к прямой, всегда длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки.