Номер 15, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 15, страница 88.

№15 (с. 88)
Условие. №15 (с. 88)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 88, номер 15, Условие

15 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Решение 2. №15 (с. 88)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 88, номер 15, Решение 2
Решение 4. №15 (с. 88)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 88, номер 15, Решение 4
Решение 11. №15 (с. 88)

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $a$, где $H$ – основание перпендикуляра, точка на прямой $a$. Также проведём из точки $A$ произвольную наклонную $AM$ к прямой $a$, где $M$ – точка на прямой $a$, не совпадающая с точкой $H$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $H$ и $M$. Это треугольник $\triangle AHM$.

По определению перпендикуляра, отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $a$. Так как точки $H$ и $M$ лежат на прямой $a$, то отрезок $AH$ перпендикулярен отрезку $HM$. Следовательно, угол $\angle AHM$ является прямым, то есть $\angle AHM = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AHM$ – прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $AH$ является катетом, а отрезок $AM$ – гипотенузой, так как он лежит напротив прямого угла $\angle AHM$.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Это можно доказать двумя способами:
1. По теореме Пифагора: $AM^2 = AH^2 + HM^2$. Так как точка $M$ не совпадает с $H$, длина отрезка $HM$ больше нуля ($HM > 0$), следовательно, $HM^2 > 0$. Тогда $AM^2 > AH^2$, из чего следует, что $AM > AH$.
2. Через соотношение сторон и углов в треугольнике. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В $\triangle AHM$ имеем $\angle AMH + \angle HAM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что углы $\angle AMH$ и $\angle HAM$ острые (меньше $90^\circ$). Значит, угол $\angle AHM = 90^\circ$ является наибольшим углом в треугольнике $\triangle AHM$.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle AHM$ – наибольший угол, то противолежащая ему сторона $AM$ (гипотенуза) является наибольшей стороной треугольника. В частности, она длиннее катета $AH$, который лежит против острого угла $\angle AMH$.

Следовательно, мы доказали, что $AH < AM$.

Поскольку $AM$ была выбрана как произвольная наклонная, данное неравенство справедливо для любой наклонной, проведённой из точки $A$ к прямой $a$. Таким образом, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Перпендикуляр, наклонная и её проекция на прямую образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр является катетом, а наклонная — гипотенузой. Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, то и любая наклонная, проведённая из точки к прямой, всегда длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 88 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15 (с. 88), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.