Номер 15, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов
 
                                                Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Вопросы для повторения к главе 4 - номер 15, страница 88.
№15 (с. 88)
Условие. №15 (с. 88)
скриншот условия
 
                                15 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
Решение 2. №15 (с. 88)
 
                            Решение 4. №15 (с. 88)
 
                            Решение 11. №15 (с. 88)
Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $a$, где $H$ – основание перпендикуляра, точка на прямой $a$. Также проведём из точки $A$ произвольную наклонную $AM$ к прямой $a$, где $M$ – точка на прямой $a$, не совпадающая с точкой $H$.
Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $H$ и $M$. Это треугольник $\triangle AHM$.
По определению перпендикуляра, отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $a$. Так как точки $H$ и $M$ лежат на прямой $a$, то отрезок $AH$ перпендикулярен отрезку $HM$. Следовательно, угол $\angle AHM$ является прямым, то есть $\angle AHM = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $\triangle AHM$ – прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $AH$ является катетом, а отрезок $AM$ – гипотенузой, так как он лежит напротив прямого угла $\angle AHM$.
В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Это можно доказать двумя способами:
1. По теореме Пифагора: $AM^2 = AH^2 + HM^2$. Так как точка $M$ не совпадает с $H$, длина отрезка $HM$ больше нуля ($HM > 0$), следовательно, $HM^2 > 0$. Тогда $AM^2 > AH^2$, из чего следует, что $AM > AH$.
2. Через соотношение сторон и углов в треугольнике. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В $\triangle AHM$ имеем $\angle AMH + \angle HAM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что углы $\angle AMH$ и $\angle HAM$ острые (меньше $90^\circ$). Значит, угол $\angle AHM = 90^\circ$ является наибольшим углом в треугольнике $\triangle AHM$.
В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle AHM$ – наибольший угол, то противолежащая ему сторона $AM$ (гипотенуза) является наибольшей стороной треугольника. В частности, она длиннее катета $AH$, который лежит против острого угла $\angle AMH$.
Следовательно, мы доказали, что $AH < AM$.
Поскольку $AM$ была выбрана как произвольная наклонная, данное неравенство справедливо для любой наклонной, проведённой из точки $A$ к прямой $a$. Таким образом, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Перпендикуляр, наклонная и её проекция на прямую образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр является катетом, а наклонная — гипотенузой. Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, то и любая наклонная, проведённая из точки к прямой, всегда длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 88 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15 (с. 88), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    