Номер 8, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 8, страница 88.

8 Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Это утверждение является признаком равнобедренного треугольника. Докажем его.

Дано:

Дан треугольник $ABC$, в котором два угла равны. Пусть это будут углы при основании $AC$, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Доказать:

Треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $CBA$. Это один и тот же треугольник, но мы сопоставим его вершины в разном порядке, чтобы доказать равенство.

Сравним треугольник $ABC$ и треугольник $CBA$:

1. $\angle BAC = \angle BCA$ по условию задачи.
2. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна стороне $CA$ треугольника $CBA$, так как это одна и та же сторона (общая сторона).
3. $\angle BCA = \angle BAC$ по условию задачи.

Таким образом, треугольник $ABC$ равен треугольнику $CBA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BCA$. В равном ему треугольнике $CBA$ соответствующая сторона $CB$ лежит напротив угла $\angle BAC$.

Поскольку $\angle BCA = \angle BAC$, то и противолежащие им стороны должны быть равны: $AB = CB$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. На основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) было показано, что если в треугольнике два угла равны, то стороны, лежащие против этих углов, также равны, и, следовательно, треугольник является равнобедренным.