Номер 1, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 4. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1, страница 87.

1 Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

Формулировка теоремы

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Нам необходимо доказать, что сумма его углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

1. Через вершину $B$ проведем прямую $d$, параллельную стороне $AC$.

2. Эта прямая образует развернутый угол при вершине $B$, который равен $180^\circ$. Этот угол состоит из трех частей: угла $\angle B$ самого треугольника и двух углов, образованных прямой $d$ со сторонами $AB$ и $BC$. Обозначим эти углы как $\angle 1$ (между $AB$ и $d$) и $\angle 2$ (между $BC$ и $d$).

Сумма этих трех углов равна развернутому углу: $\angle 1 + \angle B + \angle 2 = 180^\circ$.

3. Угол $\angle 1$ и угол $\angle A$ треугольника являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $d$ и $AC$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых, эти углы равны: $\angle 1 = \angle A$.

4. Аналогично, угол $\angle 2$ и угол $\angle C$ треугольника являются внутренними накрест лежащими углами при тех же параллельных прямых $d$ и $AC$, но при секущей $BC$. Следовательно, они также равны: $\angle 2 = \angle C$.

5. Теперь подставим равенства из пунктов 3 и 4 в формулу из пункта 2. Заменим $\angle 1$ на $\angle A$ и $\angle 2$ на $\angle C$:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Доказательство строится на проведении прямой, параллельной одной из сторон треугольника, через противолежащую вершину и использовании равенства внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.