Номер 303, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 303, страница 87.

303 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.

Задача заключается в построении треугольника по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон. План решения состоит из четырёх стандартных этапов для задач на построение: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть нам даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $m_a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором стороны $BC$ и $AC$ равны $a$ и $b$ соответственно, а медиана $AM$, проведённая к стороне $BC$, равна $m_a$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда, по определению медианы, $AM$ — это медиана к стороне $BC$, и её длина равна $m_a$. Также, поскольку $M$ — середина $BC$, то $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике нам известны длины всех трёх его сторон:

• $AC = b$ (по условию задачи).
• $AM = m_a$ (по условию задачи).
• $MC = \frac{a}{2}$ (как половина стороны, к которой проведена медиана).

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $AMC$ по трём известным сторонам. После того как треугольник $AMC$ будет построен, мы сможем найти положение третьей вершины искомого треугольника — точки $B$. Точка $B$ лежит на прямой $CM$ на таком расстоянии от $M$, что $MB = MC$, и точка $M$ находится между $C$ и $B$.

Построение

Пусть даны три отрезка с длинами $a, b, m_a$.

1. С помощью циркуля и линейки построим отрезок длиной $\frac{a}{2}$. Для этого найдём середину отрезка $a$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
2. Построим треугольник $AMC$ по трём сторонам: $MC = \frac{a}{2}$, $AC = b$, $AM = m_a$.
   1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок $MC$ равный $\frac{a}{2}$.
   2. Из центра в точке $C$ проведём дугу окружности радиусом $b$.
   3. Из центра в точке $M$ проведём дугу окружности радиусом $m_a$.
   4. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как $A$.
   5. Соединим точку $A$ с точками $C$ и $M$. Треугольник $AMC$ построен.
3. Проведём луч $CM$ и на его продолжении за точку $M$ отложим отрезок $MB$, равный отрезку $MC$.
4. Соединим отрезком точки $A$ и $B$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ проверим выполнение условий задачи.

• Сторона $AC$ имеет длину $b$ по построению (шаг 2b).
• Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $CM$ и $MB$. По построению $CM = \frac{a}{2}$ и $MB = MC = \frac{a}{2}$. Следовательно, длина стороны $BC = CM + MB = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$.
• Отрезок $AM$ имеет длину $m_a$ по построению (шаг 2c). Так как точка $M$ является серединой стороны $BC$ по построению (шаг 3), то отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, проведённой к стороне $BC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям, и построение выполнено верно.

Исследование

Данная задача на построение имеет решение в том и только в том случае, если возможно построение вспомогательного треугольника $AMC$. Треугольник можно построить по трём сторонам тогда и только тогда, когда сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны. Следовательно, для сторон треугольника $AMC$ (с длинами $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$) должны выполняться следующие три неравенства:

$$ \begin{cases} b + m_a > \frac{a}{2} \\ b + \frac{a}{2} > m_a \\ m_a + \frac{a}{2} > b \end{cases} $$

Если все эти условия выполнены, то задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как точка $A$ может быть по одну или по другую сторону от прямой $CM$, что даёт два конгруэнтных треугольника). Если хотя бы одно из этих условий не выполняется (т.е. одно из выражений равно нулю или отрицательно), то построить треугольник $AMC$ невозможно, и, следовательно, задача не имеет решения.

Ответ: Алгоритм построения описан в пункте "Построение". Задача имеет решение, если длины данных отрезков $a, b$ и медианы $m_a$ (проведённой к стороне $a$) удовлетворяют неравенствам треугольника для сторон с длинами $b, m_a, \frac{a}{2}$.