Номер 296, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 296, страница 86.

296 Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы:

а) AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 12∠hk;

б) AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = 14∠hk.

а) Построение треугольника $ABC$ основано на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Нам необходимо построить треугольник по стороне $AB=PQ$ и углам $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle hk$.

План построения состоит из следующих шагов:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{2}\angle hk$.
   Для этого необходимо построить биссектрису данного угла $\angle hk$ с помощью циркуля и линейки.
   • Пусть дан угол с вершиной в точке O. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке O. Она пересечет стороны угла в точках M и N.
   • Из точек M и N как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния MN) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения обозначим S.
   • Проведем луч OS. Этот луч является биссектрисой исходного угла, и, следовательно, $\angle MOS = \frac{1}{2}\angle hk$.
2. Построение треугольника $ABC$.
   • Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку A.
   • С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$ и отложим на прямой от точки A отрезок $AB$ такой же длины.
   • В точке B отложим от луча BA угол, равный данному углу $\angle hk$. Построим луч $l_1$, выходящий из точки B.
   • В точке A отложим от луча AB угол, равный построенному углу $\frac{1}{2}\angle hk$. Построим луч $l_2$, выходящий из точки A.
   • Точка пересечения лучей $l_1$ и $l_2$ и будет третьей вершиной искомого треугольника — точкой C.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению $AB = PQ$, $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle hk$. Задача имеет решение, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$, то есть $\angle hk + \frac{1}{2}\angle hk < 180^\circ$, что эквивалентно $\angle hk < 120^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен в соответствии с приведенным алгоритмом.

б) Построение в этом случае аналогично пункту а). Основное отличие заключается в том, что угол $\angle BAC$ должен быть равен $\frac{1}{4}\angle hk$. Для этого потребуется дважды построить биссектрису угла.

Алгоритм построения:

1. Построение угла, равного $\frac{1}{4}\angle hk$.
   • Сначала строим биссектрису данного угла $\angle hk$, получая угол величиной $\frac{1}{2}\angle hk$.
   • Затем строим биссектрису полученного угла ($\frac{1}{2}\angle hk$), в результате чего получаем искомый угол величиной $\frac{1}{4}\angle hk$.
2. Построение треугольника $ABC$.
   • На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный по длине отрезку $PQ$.
   • От луча $BA$ с вершиной в точке $B$ откладываем угол, равный $\angle hk$.
   • От луча $AB$ с вершиной в точке $A$ откладываем угол, равный $\frac{1}{4}\angle hk$ (построенный в п. 1).
   • Точку пересечения сторон построенных углов (не совпадающих со стороной $AB$) обозначаем как $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению $AB=PQ$, $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{4}\angle hk$. Построение возможно, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$: $\angle hk + \frac{1}{4}\angle hk < 180^\circ$, или $\frac{5}{4}\angle hk < 180^\circ$, что означает $\angle hk < 144^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен в соответствии с описанным алгоритмом.