Номер 289, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. 38. Построение треугольника по трём элементам - номер 289, страница 85.

Условие.

289 Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть даны две параллельные прямые, назовем их $a$ и $b$. Расстояние между параллельными прямыми — это постоянная величина, равная длине их общего перпендикуляра. Обозначим это расстояние как $h$.

Мы ищем геометрическое место точек $M$ на плоскости, для которых расстояние до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$. Если обозначить расстояние от точки $M$ до прямой $a$ как $\rho(M, a)$, а до прямой $b$ как $\rho(M, b)$, то условие задачи можно записать в виде равенства:

$$ \rho(M, a) = \rho(M, b) $$

Рассмотрим любую точку $M$, которая удовлетворяет этому условию. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MP$ к прямой $a$ (где $P$ лежит на $a$) и перпендикуляр $MQ$ к прямой $b$ (где $Q$ лежит на $b$).

По определению искомого множества, длины этих перпендикуляров равны: $|MP| = |MQ|$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), а отрезки $MP$ и $MQ$ перпендикулярны им ($MP \perp a$ и $MQ \perp b$), то эти перпендикуляры лежат на одной прямой. То есть точки $P$, $M$ и $Q$ лежат на одной прямой, которая перпендикулярна обеим данным прямым.

Отрезок $PQ$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $b$, и его длина равна расстоянию между этими прямыми, то есть $|PQ| = h$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $PQ$ и делит его на два равных отрезка $MP$ и $MQ$, точка $M$ является серединой отрезка $PQ$.

Это означает, что любая точка $M$ из искомого множества удалена от каждой из прямых на одно и то же расстояние, равное половине расстояния между ними:

$$ \rho(M, a) = \rho(M, b) = \frac{|PQ|}{2} = \frac{h}{2} $$

Таким образом, все точки, равноудаленные от двух параллельных прямых, образуют прямую. Эта прямая параллельна данным прямым и проходит ровно посередине между ними.

Ответ: Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, которая параллельна этим прямым и расположена на равном расстоянии от каждой из них (проходит посередине между ними).