Номер 291, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. 38. Построение треугольника по трём элементам - номер 291, страница 85.

Условие.

291 Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Искомое множество точек — это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от данной прямой на заданное расстояние. Пусть дана прямая a и расстояние d (при условии, что $d > 0$).

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Рассмотрим любую точку M, которая находится на расстоянии d от прямой a. Это означает, что если мы опустим перпендикуляр MH из точки M на прямую a (где H — основание перпендикуляра, лежащее на прямой a), то длина этого перпендикуляра будет равна d ($|MH| = d$).

Точки, удовлетворяющие этому условию, могут находиться по обе стороны от прямой a.

1. Если мы рассмотрим все точки, лежащие с одной стороны от прямой a, то их совокупность образует прямую, параллельную прямой a. Представим, что мы "двигаем" точку H вдоль всей прямой a. В каждом положении точки H точка M будет находиться на перпендикуляре к a, восстановленном в точке H, и на расстоянии d от H. Множество всех таких точек M образует прямую b, параллельную a.

2. Аналогично, существует множество точек с другой стороны от прямой a, которые также находятся на расстоянии d от нее. Это множество также образует прямую c, параллельную a.

Таким образом, искомое множество состоит из двух параллельных прямых.

Доказательство с использованием метода координат:

Введем декартову систему координат так, чтобы данная прямая a совпадала с осью абсцисс (Ox). В этом случае уравнение прямой a будет $y = 0$.

Пусть M(x, y) — произвольная точка плоскости. Расстояние от точки M до прямой a (оси Ox) вычисляется как модуль ее ординаты, то есть $|y|$.

Согласно условию задачи, это расстояние должно быть равно d: $|y| = d$

Это уравнение распадается на два: $y = d$ и $y = -d$.

Каждое из этих уравнений задает прямую, параллельную оси Ox (т.е. исходной прямой a).

• $y = d$ — это прямая, все точки которой находятся на расстоянии d от прямой a в верхней полуплоскости.
• $y = -d$ — это прямая, все точки которой находятся на расстоянии d от прямой a в нижней полуплоскости.

Следовательно, множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии d от данной прямой a, — это две прямые, параллельные прямой a и расположенные на расстоянии d от нее по разные стороны.

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и отстоящие от нее на данное расстояние.