Номер 290, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 290, страница 85.

290 Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Х ∈ а, Y ∈ b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудалённой от этих прямых.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.

$X$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $a$ ($X \in a$).

$Y$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $b$ ($Y \in b$).

$M$ — середина отрезка $XY$.

Доказать:

Геометрическое место точек $M$ (совокупность всех таких середин) есть прямая $c$, которая параллельна прямым $a$ и $b$ ($c \parallel a$ и $c \parallel b$) и равноудалена от них.

Доказательство:

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $P$ и опустим из нее перпендикуляр $PQ$ на прямую $b$ (точка $Q$ принадлежит прямой $b$). Длина отрезка $PQ$ является расстоянием между параллельными прямыми $a$ и $b$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $|PQ| = h$.

2. Пусть $K$ — середина отрезка $PQ$. Точка $K$ по определению является одной из искомых середин, так как отрезок $PQ$ соединяет точки на прямых $a$ и $b$.

3. Теперь возьмем произвольный отрезок $XY$, где $X \in a$ и $Y \in b$, и пусть $M$ — его середина.

4. Рассмотрим четырехугольник $XPYQ$. Так как точки $X$ и $P$ лежат на прямой $a$, а точки $Y$ и $Q$ — на прямой $b$, и по условию $a \parallel b$, то отрезок $XP$ параллелен отрезку $YQ$. Следовательно, четырехугольник $XPYQ$ является трапецией, основаниями которой служат отрезки $XP$ и $YQ$. Отрезки $XY$ и $PQ$ являются ее боковыми сторонами. (В частном случае, если $XY \parallel PQ$, фигура будет параллелограммом, а если $X=P$ или $Y=Q$ — вырожденной трапецией, что не меняет хода доказательства).

5. В трапеции $XPYQ$ точка $M$ является серединой боковой стороны $XY$, а точка $K$ — серединой боковой стороны $PQ$. Отрезок $MK$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, по определению является ее средней линией.

6. Согласно свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Значит, $MK \parallel XP$. Поскольку отрезок $XP$ лежит на прямой $a$, то и вся прямая, содержащая отрезок $MK$, параллельна прямой $a$.

7. Это означает, что любая середина $M$ произвольного отрезка $XY$ лежит на прямой, проходящей через фиксированную точку $K$ и параллельной прямой $a$. Обозначим эту прямую $c$. Таким образом, все искомые точки лежат на этой прямой $c$.

8. Так как $c \parallel a$ и по условию $a \parallel b$, то по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $c \parallel b$.

9. Теперь докажем, что прямая $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$. Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Отрезок $PQ$ перпендикулярен прямой $a$. Так как $c \parallel a$, то $PQ$ перпендикулярен и прямой $c$.

10. Расстояние от прямой $c$ до прямой $a$ равно длине отрезка $PK$. Так как $K$ — середина $PQ$, то $PK = \frac{1}{2} PQ = \frac{h}{2}$.

11. Аналогично, расстояние от прямой $c$ до прямой $b$ равно длине отрезка $QK$. Так как $K$ — середина $PQ$, то $QK = \frac{1}{2} PQ = \frac{h}{2}$.

12. Поскольку расстояние от прямой $c$ до прямой $a$ равно расстоянию от прямой $c$ до прямой $b$ ($d(c, a) = d(c, b) = \frac{h}{2}$), прямая $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Таким образом, все утверждения доказаны.

Ответ: Множество середин всех отрезков, концы которых лежат на двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим прямым и равноудалённая от них.