Номер 292, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 292, страница 86.

292 Даны прямая a и отрезок AB. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми a и р было равно AB.

Решение

Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую b, перпендикулярную к прямой а (рис. 148). Затем на одном из лучей прямой b, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку AB. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой b. Прямая р — искомая (объясните почему).

Как видно из построения, для любой данной прямой a и любого данного отрезка AB искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р₁ на рисунке 149).

Построение

Чтобы построить прямую $p$, которая параллельна данной прямой $a$ и расстояние до которой равно длине отрезка $AB$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. На прямой $a$ выбрать произвольную точку $C$.
2. С помощью циркуля и линейки построить прямую $b$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $a$ ($b \perp a$).
3. На прямой $b$ от точки $C$ отложить отрезок $CD$, длина которого равна длине отрезка $AB$.
4. Через точку $D$ построить прямую $p$, перпендикулярную прямой $b$ ($p \perp b$).

Прямая $p$ является искомой. Стоит отметить, что на шаге 3 отрезок $CD$ можно отложить от точки $C$ в любую из двух сторон вдоль прямой $b$. Это означает, что задача всегда имеет два решения: прямую $p$ с одной стороны от прямой $a$ и прямую $p_1$ — с другой (как показано на рисунке 149 в условии).

Ответ: Для построения искомой прямой нужно выбрать на прямой $a$ произвольную точку, провести через нее перпендикуляр, отложить на этом перпендикуляре отрезок, равный по длине отрезку $AB$, и через конец отложенного отрезка провести прямую, перпендикулярную построенному перпендикуляру.

Объяснение

Построенная прямая $p$ является искомой, так как она удовлетворяет всем условиям задачи. Докажем это.

1. Параллельность $p$ и $a$. По построению, и прямая $a$, и прямая $p$ перпендикулярны одной и той же прямой $b$. Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $p \parallel a$.

2. Расстояние между $p$ и $a$. Расстоянием между двумя параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. По построению, прямая $b$ перпендикулярна обеим прямым $a$ и $p$, значит, отрезок $CD$, лежащий на прямой $b$ и соединяющий прямые $a$ и $p$, является их общим перпендикуляром. Длина этого отрезка по построению равна длине отрезка $AB$. Следовательно, расстояние между прямыми $p$ и $a$ равно $AB$.

Оба условия задачи выполнены, что подтверждает правильность построения.

Ответ: Построенная прямая $p$ параллельна прямой $a$, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой $b$. Расстояние между $p$ и $a$ равно длине отрезка $CD$, который является их общим перпендикуляром и по построению равен отрезку $AB$.