Номер 299, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 299, страница 86.

299 Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

В этой задаче требуется описать алгоритм построения равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки по заданным элементам.

а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию

Пусть дана боковая сторона, равная отрезку $l$, и угол при вершине, противолежащей основанию, равный $?$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AB = BC = l$ — боковые стороны, а $?ABC = ?$ — угол при вершине. Этот треугольник можно построить по двум сторонам и углу между ними.

Построение:

1. Строим угол с вершиной в точке $B$, равный данному углу $?$.
2. На сторонах этого угла от вершины $B$ откладываем отрезки $BA$ и $BC$, равные данному отрезку $l$.
3. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны $l$ по построению, а угол $?ABC$ равен $?$ по построению. Следовательно, $?ABC$ — равнобедренный треугольник, удовлетворяющий условиям задачи. Задача имеет решение, если $? < 180°$.

Ответ: Построение выполняется по двум сторонам (равным боковой стороне) и углу между ними (равному углу при вершине).

б) по основанию и углу при основании

Пусть дано основание, равное отрезку $b$, и угол при основании, равный $?$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AC = b$ — основание, а $?BAC = ?BCA = ?$ — углы при основании. Этот треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Построение:

1. Строим отрезок $AC$, равный данному отрезку $b$.
2. От луча $AC$ в одной полуплоскости строим угол $?CAB$, равный данному углу $?$.
3. От луча $CA$ в той же полуплоскости строим угол $?BCA$, равный данному углу $?$.
4. Лучи, построенные на шагах 2 и 3, пересекутся в точке $B$.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению, углы $?CAB$ и $?BCA$ равны $?$ по построению. Так как углы при основании равны, треугольник является равнобедренным. Задача имеет решение, если $2? < 180°$, то есть $? < 90°$.

Ответ: Построение выполняется по стороне (основанию) и двум прилежащим к ней углам (равным углу при основании).

в) по боковой стороне и углу при основании

Пусть дана боковая сторона, равная отрезку $l$, и угол при основании, равный $?$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AB=BC=l$ и $?BAC = ?$. Мы знаем две стороны ($AB=l$, $BC=l$) и один угол ($?BAC = ?$), который не лежит между этими сторонами. Другой угол при основании $?BCA$ также равен $?$.

Построение:

1. Строим произвольную прямую и на ней выбираем точку $A$.
2. От этой прямой строим луч $AD$ так, чтобы угол $?DAC$ был равен данному углу $?$.
3. На луче $AD$ откладываем отрезок $AB$, равный данному отрезку $l$.
4. Строим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным $l$.
5. Эта окружность пересечет исходную прямую в двух точках. Одну из них, отличную от $A$, обозначим $C$.
6. Соединяем точки $B$ и $C$ отрезком.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AB$ равна $l$ по построению. Сторона $BC$ также равна $l$, так как точка $C$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $l$. Угол при основании $?BAC$ равен $?$ по построению. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Задача имеет решение, если $? < 90°$.

Ответ: Построение сводится к нахождению третьей вершины как точки пересечения окружности (с центром во второй вершине и радиусом, равным боковой стороне) и прямой, на которой лежит основание.

г) по основанию и боковой стороне

Пусть дано основание, равное отрезку $b$, и боковая сторона, равная отрезку $l$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, где $AC = b$, $AB = BC = l$. Этот треугольник можно построить по трем сторонам.

Построение:

1. Строим отрезок $AC$, равный данному отрезку $b$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $l$.
3. Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $l$.
4. Точку пересечения этих дуг обозначаем $B$.
5. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению. Стороны $AB$ и $BC$ равны $l$ как радиусы окружностей, построенных из центров $A$ и $C$ соответственно. Следовательно, $?ABC$ — равнобедренный с заданными основанием и боковой стороной. Задача имеет решение, если выполняется неравенство треугольника: $l + l > b$, то есть $2l > b$.

Ответ: Построение выполняется по трем сторонам.

д) по основанию и медиане, проведённой к основанию

Пусть дано основание, равное отрезку $b$, и медиана, проведенная к основанию, равная отрезку $m$.

Анализ:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Пусть в искомом треугольнике $ABC$ основание $AC = b$, а медиана $BM = m$. Тогда $BM$ также является высотой, то есть $BM ? AC$, а точка $M$ — середина $AC$. Таким образом, построение сводится к построению двух равных прямоугольных треугольников $ABM$ и $CBM$ по двум катетам ($AM = MC = b/2$ и $BM = m$).

Построение:

1. Строим отрезок $AC$, равный данному отрезку $b$.
2. Находим середину отрезка $AC$ — точку $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
3. Через точку $M$ проводим прямую, перпендикулярную $AC$.
4. На этой перпендикулярной прямой откладываем от точки $M$ отрезок $MB$, равный данному отрезку $m$.
5. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$.

Доказательство:

В построенном треугольнике $?ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению. Отрезок $BM$ является медианой, так как $M$ — середина $AC$, и его длина равна $m$ по построению. Так как медиана $BM$ по построению является и высотой ($BM ? AC$), то треугольник $ABC$ является равнобедренным. Задача всегда имеет решение.

Ответ: Построение сводится к нахождению середины основания, восстановлению перпендикуляра из этой точки и откладыванию на нем длины медианы для нахождения вершины треугольника.