Номер 297, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 297, страница 86.

297 Даны два угла hk и h₁k₁ и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠B = 12∠h₁k₁.

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($AB=PQ$, $?A = ?hk$, $?B = \frac{1}{2}?h_1k_1$) необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

Анализ

Задача сводится к построению треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. У нас есть сторона $AB$, длина которой равна длине отрезка $PQ$. Один из прилежащих углов, $?A$, нам дан. Второй прилежащий угол, $?B$, нужно сначала построить, так как он должен быть равен половине данного угла $?h_1k_1$. Следовательно, первым шагом будет построение биссектрисы угла $?h_1k_1$.

Построение

1. Построение угла, равного $\frac{1}{2}?h_1k_1$.
   Сначала построим биссектрису данного угла $?h_1k_1$. Для этого:
   • Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла $?h_1k_1$. Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим $M$ и $N$.
   • Из точек $M$ и $N$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между $M$ и $N$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения обозначим $L$.
   • Проведем луч из вершины угла $?h_1k_1$ через точку $L$. Этот луч является биссектрисой угла. Угол между этим лучом и любой из сторон исходного угла $?h_1k_1$ будет равен $\frac{1}{2}?h_1k_1$. Обозначим этот полученный угол как $?\beta$.
2. Построение стороны $AB$.
   Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$. С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$. Затем, установив острие циркуля в точку $A$, отложим на прямой отрезок $AB$, равный $PQ$.
3. Построение угла $A$.
   От луча $AB$ отложим угол, равный данному углу $?hk$. Для этого используем стандартный метод копирования угла:
   • Проведем дугу окружности с центром в вершине угла $?hk$, пересекающую его стороны.
   • Проведем дугу того же радиуса с центром в точке $A$, пересекающую луч $AB$ в некоторой точке $D$.
   • Измерим циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $?hk$.
   • Отложим это расстояние на второй дуге от точки $D$, получив точку $E$.
   • Проведем луч $AE$. Полученный угол $?EAB$ равен $?hk$.
4. Построение угла $B$.
   Аналогично, от луча $BA$ в ту же полуплоскость, что и луч $AE$, отложим угол, равный построенному нами ранее углу $?\beta = \frac{1}{2}?h_1k_1$. Получим луч $BF$.
5. Завершение построения.
   Лучи $AE$ и $BF$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ равна отрезку $PQ$ по построению (шаг 2).
• Угол $A$ равен углу $?hk$ по построению (шаг 3).
• Угол $B$ равен углу $?\beta$, который равен $\frac{1}{2}?h_1k_1$ по построению (шаги 1 и 4).

Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым. Построение возможно, если сумма углов $?A$ и $?B$ меньше 180°, то есть $?hk + \frac{1}{2}?h_1k_1 < 180°$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится следующим образом: 1) Строится биссектриса угла $?h_1k_1$, чтобы получить угол величиной $\frac{1}{2}?h_1k_1$. 2) На прямой откладывается отрезок $AB$, равный $PQ$. 3) От луча $AB$ откладывается угол $A$, равный $?hk$. 4) От луча $BA$ откладывается угол $B$, равный построенной половине угла $?h_1k_1$. 5) Точка пересечения сторон построенных углов является вершиной $C$.