Номер 302, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 302, страница 87.

302 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.

Пусть даны длины двух сторон, которые мы обозначим как $a$ и $b$, и длина высоты $h$. Задача может быть истолкована двумя способами, в зависимости от того, к какой из данных сторон проведена высота.

Случай 1: Высота $h$ проведена к стороне $a$ (даны $a, b, h_a$)

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $BC = a$, сторона $AC = b$, а высота $AH$, опущенная на прямую $BC$, равна $h_a = h$. Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она должна находиться на расстоянии $h$ от прямой, содержащей сторону $BC$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это пара прямых, параллельных прямой $BC$ и отстоящих от нее на расстояние $h$.
2. Она должна находиться на расстоянии $b$ от вершины $C$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$.

Таким образом, вершина $A$ является точкой пересечения этих геометрических мест: одной из параллельных прямых и окружности.

Построение

1. Провести произвольную прямую $p$. На ней будет лежать сторона $a$.
2. На прямой $p$ выбрать произвольную точку $C$ и отложить от нее отрезок $CB$, равный $a$.
3. Построить прямую $q$, параллельную прямой $p$ и отстоящую от нее на расстояние $h$. Для этого можно в любой точке на прямой $p$ (например, в точке $C$) восстановить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h$ и через его конец провести прямую, параллельную $p$.
4. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$.
5. Точка (или точки) пересечения окружности и прямой $q$ будет искомой вершиной $A$.
6. Соединить точки $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC = a$ по построению. Сторона $AC = b$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $b$. Высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$, есть расстояние от точки $A$ до прямой $p$. По построению, точка $A$ лежит на прямой $q$, параллельной $p$ и удаленной от нее на расстояние $h$. Следовательно, высота равна $h$. Треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность с центром $C$ и радиусом $b$ пересекает прямую $q$. Расстояние от $C$ до $q$ равно $h$.

• Если $b < h$, окружность и прямая не пересекаются. Решений нет.
• Если $b = h$, окружность касается прямой $q$ в одной точке. В этом случае $AC$ перпендикулярно $BC$, то есть треугольник $ABC$ будет прямоугольным с прямым углом $C$. Задача имеет одно решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $b > h$, окружность пересекает прямую $q$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$). Это дает два треугольника: $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$. В общем случае эти треугольники не равны друг другу. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму. Число решений (0, 1 или 2) зависит от соотношения длин $b$ и $h$.

Случай 2: Высота $h$ проведена к стороне $b$ (даны $a, b, h_b$)

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $BC = a$, сторона $AC = b$, а высота $BH$, опущенная на прямую $AC$, равна $h_b = h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В нем известны гипотенуза $BC = a$ и катет $BH = h$. Такой треугольник можно построить. После его построения будут найдены вершины $B$ и $C$, а также прямая, содержащая сторону $AC$. Вершина $A$ должна лежать на этой прямой на расстоянии $b$ от точки $C$.

Построение

1. Построить прямоугольный треугольник $BHC$ по гипотенузе $a$ и катету $h$.
   1. Провести произвольную прямую $p$. На ней будет лежать сторона $b$.
   2. Выбрать на прямой $p$ произвольную точку $H$ и восставить в ней перпендикуляр к $p$.
   3. На перпендикуляре отложить отрезок $HB = h$.
   4. Из точки $B$ как из центра провести окружность радиусом $a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p$ будет вершиной $C$. (Обычно получается две точки, симметричные относительно $H$. Выбор любой из них приводит к конгруэнтным итоговым треугольникам, поэтому достаточно выбрать одну).
2. Теперь у нас есть вершины $B, C$ и прямая $p$, на которой лежит сторона $AC$.
3. На прямой $p$ отложить от точки $C$ отрезок $CA$ длиной $b$.
4. Соединить точки $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$: $BC=a$ (как радиус окружности), $AC=b$ (по построению). Высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$ (прямую $p$), есть перпендикуляр $BH$, длина которого по построению равна $h$. Треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить прямоугольный треугольник $BHC$.

• Если $a < h$ (гипотенуза меньше катета), построение невозможно. Решений нет.
• Если $a = h$, точка $H$ совпадает с $C$. Это означает, что угол $C$ прямой. Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $BC=a$ и $AC=b$. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если $a > h$, треугольник $BHC$ можно построить. После нахождения точки $C$ на прямой $p$, точку $A$ можно отложить от $C$ в две стороны (если $H$ не совпадает с $C$, что в данном случае так). Это дает два положения для точки $A$ ($A_1$ и $A_2$) и, соответственно, два треугольника: $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$. В общем случае эти треугольники не равны. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму. Число решений (0, 1 или 2) зависит от соотношения длин $a$ и $h$.