Страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

300 Даны отрезки Р₁Q₁, P₂Q₂ и P₃Q₃. Постройте треугольник ABC так, чтобы:

а) AB = P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 2P₃Q₃;

б) AB = 2P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 32P₃Q₃.

Всегда ли задача имеет решение?

а)

Для построения треугольника $ABC$ со сторонами $AB=P_1Q_1$, $BC=P_2Q_2$ и $CA=2P_3Q_3$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим отрезок, соответствующий стороне $CA$. Для этого начертим произвольный луч с началом в точке $C$. С помощью циркуля измерим длину отрезка $P_3Q_3$ и отложим ее на луче от точки $C$ два раза подряд. Конец второго отложенного отрезка обозначим точкой $A$. Полученный отрезок $CA$ будет иметь длину $2P_3Q_3$.
2. Теперь выполним построение треугольника по трем сторонам ($AB, BC, CA$). У нас уже есть сторона $CA$.
   • Измерим циркулем длину отрезка $P_1Q_1$. Проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $|P_1Q_1|$.
   • Измерим циркулем длину отрезка $P_2Q_2$. Проведем дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным $|P_2Q_2|$.
   • Точка пересечения этих двух дуг является третьей вершиной треугольника. Обозначим ее $B$. (Примечание: в общем случае существует два таких пересечения, симметричных относительно прямой $AC$. Можно выбрать любое из них).
   • Соединим точки $A, B$ и $C$ отрезками.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: План построения треугольника описан выше. Построение возможно только в том случае, если длины отрезков $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $2P_3Q_3$ удовлетворяют неравенству треугольника.

б)

Для построения треугольника $ABC$ со сторонами $AB=2P_1Q_1$, $BC=P_2Q_2$ и $CA=\frac{3}{2}P_3Q_3$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим отрезки, соответствующие сторонам $AB$ и $CA$:
   • Сторона AB: На произвольном луче от его начала отложим с помощью циркуля два раза подряд отрезок $P_1Q_1$. Полученный отрезок будет иметь длину $2P_1Q_1$.
   • Сторона CA: Для построения отрезка длиной $\frac{3}{2}P_3Q_3$ сначала найдем середину отрезка $P_3Q_3$ (с помощью построения серединного перпендикуляра). Отрезок от конца до середины будет иметь длину $\frac{1}{2}P_3Q_3$. Затем на произвольном луче отложим отрезок $P_3Q_3$, а затем от его конца в том же направлении отложим отрезок длиной $\frac{1}{2}P_3Q_3$. Полученный в итоге отрезок будет иметь искомую длину $\frac{3}{2}P_3Q_3$.
2. Теперь построим треугольник по трем сторонам: $BC$ (исходный отрезок), $AB$ и $CA$ (построенные на шаге 1).
   • Начертим прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный по длине $P_2Q_2$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным построенной длине $2P_1Q_1$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным построенной длине $\frac{3}{2}P_3Q_3$.
   • Точку пересечения этих дуг обозначим $A$.
   • Соединим точки $A, B$ и $C$ отрезками.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: План построения треугольника описан выше. Построение возможно только в том случае, если длины отрезков $2P_1Q_1$, $P_2Q_2$ и $\frac{3}{2}P_3Q_3$ удовлетворяют неравенству треугольника.

Всегда ли задача имеет решение?

Задача на построение треугольника по трем сторонам имеет решение не всегда. Для того чтобы из трех отрезков с длинами $a, b, c$ можно было составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы для них выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Обозначим длины исходных отрезков как $p_1 = |P_1Q_1|$, $p_2 = |P_2Q_2|$ и $p_3 = |P_3Q_3|$.

• В случае а), стороны треугольника должны иметь длины $p_1, p_2, 2p_3$. Условия существования треугольника:

  $p_1 + p_2 > 2p_3$

  $p_2 + 2p_3 > p_1$

  $p_1 + 2p_3 > p_2$

• В случае б), стороны треугольника должны иметь длины $2p_1, p_2, \frac{3}{2}p_3$. Условия существования треугольника:

  $2p_1 + p_2 > \frac{3}{2}p_3$

  $p_2 + \frac{3}{2}p_3 > 2p_1$

  $2p_1 + \frac{3}{2}p_3 > p_2$

Так как длины исходных отрезков $p_1, p_2, p_3$ могут быть произвольными, эти неравенства могут не выполняться. Например, для пункта а), если взять отрезки с длинами $p_1=3, p_2=4, p_3=4$, то стороны треугольника будут иметь длины 3, 4 и 8. Неравенство $3+4 > 8$ (т.е. $7>8$) неверно, следовательно, такой треугольник построить невозможно.

Ответ: Нет, задача имеет решение не всегда. Решение существует только в том случае, если длины сторон, полученные из исходных отрезков, удовлетворяют неравенству треугольника.

301 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Решение

Даны отрезки P₁Q₁ и P₂Q₂ и угол hk (рис. 150, а). Требуется построить треугольник ABC, у которого одна из сторон, скажем AB, равна отрезку P₁Q₁, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне AB, равна данному отрезку P₂Q₂.

Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок AB, равный данному отрезку P₁Q₁ (рис. 150, б). Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой AB должно равняться P₂Q₂.

Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии Р₂Q₂ от прямой AB и лежащих по ту же сторону от прямой AB, что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой AB и находящаяся на расстоянии Р₂Q₂ от прямой AB. Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 292. Очевидно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи: AB=P₁Q₁, CH=P₂Q₂, ∠A=∠hk.

Для построения треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне, необходимо выполнить следующую последовательность шагов. Пусть нам даны три элемента: отрезок $P_1Q_1$, который определит длину стороны; угол $hk$, который определит величину прилежащего угла; и отрезок $P_2Q_2$, который определит длину высоты. Построим треугольник $ABC$ так, чтобы сторона $AB = P_1Q_1$, угол $\angle A = \angle hk$, а высота $CH$, опущенная на сторону $AB$, была равна $P_2Q_2$.

Сначала построим угол, равный данному. Для этого начертим произвольную прямую $n$ и отметим на ней точку $A$. От луча, исходящего из точки $A$ по прямой $n$, отложим угол, равный $hk$. Пусть второй стороной этого угла будет луч $AY$. Таким образом, мы построили угол $\angle YAn$, равный $\angle hk$.

Далее, на луче, лежащем на прямой $n$, отложим от точки $A$ отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $P_1Q_1$. Точки $A$ и $B$ — это две вершины искомого треугольника, а отрезок $AB$ — одна из его сторон.

Теперь нужно найти положение третьей вершины $C$. Из условия задачи мы знаем, что высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$, равна отрезку $P_2Q_2$. Это означает, что точка $C$ должна находиться на расстоянии, равном длине $P_2Q_2$, от прямой $n$, на которой лежит сторона $AB$.

Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от некоторой прямой, — это пара прямых, параллельных данной. Построим прямую $p$, параллельную прямой $n$ и находящуюся на расстоянии $P_2Q_2$ от неё. Для этого в любой точке прямой $n$ (например, в точке $A$) восстановим перпендикуляр, отложим на нём отрезок длиной $P_2Q_2$ и через его конец проведём прямую $p$, параллельную $n$. Мы выберем ту из двух возможных параллельных прямых, которая лежит в той же полуплоскости относительно $n$, что и луч $AY$.

Искомая вершина $C$ должна принадлежать как лучу $AY$ (чтобы угол $\angle A$ был равен заданному), так и прямой $p$ (чтобы высота была равна заданной). Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения луча $AY$ и прямой $p$.

Соединив точки $A$, $B$ и $C$, мы получим искомый треугольник $ABC$. Построенный треугольник удовлетворяет всем условиям: $AB = P_1Q_1$, $\angle A = \angle hk$ и высота $CH = P_2Q_2$. Задача имеет единственное решение, если угол $hk$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, а длина высоты $P_2Q_2$ больше нуля.

Ответ: Треугольник строится путём построения угла, равного данному, на одном из концов заданной стороны. Затем строится прямая, параллельная этой стороне на расстоянии, равном заданной высоте. Точка пересечения второй стороны угла и этой параллельной прямой является третьей вершиной треугольника.

302 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.

Пусть даны длины двух сторон, которые мы обозначим как $a$ и $b$, и длина высоты $h$. Задача может быть истолкована двумя способами, в зависимости от того, к какой из данных сторон проведена высота.

Случай 1: Высота $h$ проведена к стороне $a$ (даны $a, b, h_a$)

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $BC = a$, сторона $AC = b$, а высота $AH$, опущенная на прямую $BC$, равна $h_a = h$. Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она должна находиться на расстоянии $h$ от прямой, содержащей сторону $BC$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это пара прямых, параллельных прямой $BC$ и отстоящих от нее на расстояние $h$.
2. Она должна находиться на расстоянии $b$ от вершины $C$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$.

Таким образом, вершина $A$ является точкой пересечения этих геометрических мест: одной из параллельных прямых и окружности.

Построение

1. Провести произвольную прямую $p$. На ней будет лежать сторона $a$.
2. На прямой $p$ выбрать произвольную точку $C$ и отложить от нее отрезок $CB$, равный $a$.
3. Построить прямую $q$, параллельную прямой $p$ и отстоящую от нее на расстояние $h$. Для этого можно в любой точке на прямой $p$ (например, в точке $C$) восстановить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h$ и через его конец провести прямую, параллельную $p$.
4. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$.
5. Точка (или точки) пересечения окружности и прямой $q$ будет искомой вершиной $A$.
6. Соединить точки $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC = a$ по построению. Сторона $AC = b$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $b$. Высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$, есть расстояние от точки $A$ до прямой $p$. По построению, точка $A$ лежит на прямой $q$, параллельной $p$ и удаленной от нее на расстояние $h$. Следовательно, высота равна $h$. Треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность с центром $C$ и радиусом $b$ пересекает прямую $q$. Расстояние от $C$ до $q$ равно $h$.

• Если $b < h$, окружность и прямая не пересекаются. Решений нет.
• Если $b = h$, окружность касается прямой $q$ в одной точке. В этом случае $AC$ перпендикулярно $BC$, то есть треугольник $ABC$ будет прямоугольным с прямым углом $C$. Задача имеет одно решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $b > h$, окружность пересекает прямую $q$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$). Это дает два треугольника: $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$. В общем случае эти треугольники не равны друг другу. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму. Число решений (0, 1 или 2) зависит от соотношения длин $b$ и $h$.

Случай 2: Высота $h$ проведена к стороне $b$ (даны $a, b, h_b$)

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем сторона $BC = a$, сторона $AC = b$, а высота $BH$, опущенная на прямую $AC$, равна $h_b = h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В нем известны гипотенуза $BC = a$ и катет $BH = h$. Такой треугольник можно построить. После его построения будут найдены вершины $B$ и $C$, а также прямая, содержащая сторону $AC$. Вершина $A$ должна лежать на этой прямой на расстоянии $b$ от точки $C$.

Построение

1. Построить прямоугольный треугольник $BHC$ по гипотенузе $a$ и катету $h$.
   1. Провести произвольную прямую $p$. На ней будет лежать сторона $b$.
   2. Выбрать на прямой $p$ произвольную точку $H$ и восставить в ней перпендикуляр к $p$.
   3. На перпендикуляре отложить отрезок $HB = h$.
   4. Из точки $B$ как из центра провести окружность радиусом $a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p$ будет вершиной $C$. (Обычно получается две точки, симметричные относительно $H$. Выбор любой из них приводит к конгруэнтным итоговым треугольникам, поэтому достаточно выбрать одну).
2. Теперь у нас есть вершины $B, C$ и прямая $p$, на которой лежит сторона $AC$.
3. На прямой $p$ отложить от точки $C$ отрезок $CA$ длиной $b$.
4. Соединить точки $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$: $BC=a$ (как радиус окружности), $AC=b$ (по построению). Высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$ (прямую $p$), есть перпендикуляр $BH$, длина которого по построению равна $h$. Треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить прямоугольный треугольник $BHC$.

• Если $a < h$ (гипотенуза меньше катета), построение невозможно. Решений нет.
• Если $a = h$, точка $H$ совпадает с $C$. Это означает, что угол $C$ прямой. Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $BC=a$ и $AC=b$. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если $a > h$, треугольник $BHC$ можно построить. После нахождения точки $C$ на прямой $p$, точку $A$ можно отложить от $C$ в две стороны (если $H$ не совпадает с $C$, что в данном случае так). Это дает два положения для точки $A$ ($A_1$ и $A_2$) и, соответственно, два треугольника: $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$. В общем случае эти треугольники не равны. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму. Число решений (0, 1 или 2) зависит от соотношения длин $a$ и $h$.

303 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.

Задача заключается в построении треугольника по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон. План решения состоит из четырёх стандартных этапов для задач на построение: анализ, построение, доказательство и исследование.

Пусть нам даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $m_a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором стороны $BC$ и $AC$ равны $a$ и $b$ соответственно, а медиана $AM$, проведённая к стороне $BC$, равна $m_a$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда, по определению медианы, $AM$ — это медиана к стороне $BC$, и её длина равна $m_a$. Также, поскольку $M$ — середина $BC$, то $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике нам известны длины всех трёх его сторон:

• $AC = b$ (по условию задачи).
• $AM = m_a$ (по условию задачи).
• $MC = \frac{a}{2}$ (как половина стороны, к которой проведена медиана).

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $AMC$ по трём известным сторонам. После того как треугольник $AMC$ будет построен, мы сможем найти положение третьей вершины искомого треугольника — точки $B$. Точка $B$ лежит на прямой $CM$ на таком расстоянии от $M$, что $MB = MC$, и точка $M$ находится между $C$ и $B$.

Пусть даны три отрезка с длинами $a, b, m_a$.

1. С помощью циркуля и линейки построим отрезок длиной $\frac{a}{2}$. Для этого найдём середину отрезка $a$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
2. Построим треугольник $AMC$ по трём сторонам: $MC = \frac{a}{2}$, $AC = b$, $AM = m_a$.
   1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок $MC$ равный $\frac{a}{2}$.
   2. Из центра в точке $C$ проведём дугу окружности радиусом $b$.
   3. Из центра в точке $M$ проведём дугу окружности радиусом $m_a$.
   4. Точку пересечения этих двух дуг обозначим как $A$.
   5. Соединим точку $A$ с точками $C$ и $M$. Треугольник $AMC$ построен.
3. Проведём луч $CM$ и на его продолжении за точку $M$ отложим отрезок $MB$, равный отрезку $MC$.
4. Соединим отрезком точки $A$ и $B$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

В построенном треугольнике $ABC$ проверим выполнение условий задачи.

• Сторона $AC$ имеет длину $b$ по построению (шаг 2b).
• Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $CM$ и $MB$. По построению $CM = \frac{a}{2}$ и $MB = MC = \frac{a}{2}$. Следовательно, длина стороны $BC = CM + MB = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$.
• Отрезок $AM$ имеет длину $m_a$ по построению (шаг 2c). Так как точка $M$ является серединой стороны $BC$ по построению (шаг 3), то отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, проведённой к стороне $BC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям, и построение выполнено верно.

Данная задача на построение имеет решение в том и только в том случае, если возможно построение вспомогательного треугольника $AMC$. Треугольник можно построить по трём сторонам тогда и только тогда, когда сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны. Следовательно, для сторон треугольника $AMC$ (с длинами $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$) должны выполняться следующие три неравенства:

$$ \begin{cases} b + m_a > \frac{a}{2} \\ b + \frac{a}{2} > m_a \\ m_a + \frac{a}{2} > b \end{cases} $$

Если все эти условия выполнены, то задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как точка $A$ может быть по одну или по другую сторону от прямой $CM$, что даёт два конгруэнтных треугольника). Если хотя бы одно из этих условий не выполняется (т.е. одно из выражений равно нулю или отрицательно), то построить треугольник $AMC$ невозможно, и, следовательно, задача не имеет решения.

Ответ: Алгоритм построения описан в пункте "Построение". Задача имеет решение, если длины данных отрезков $a, b$ и медианы $m_a$ (проведённой к стороне $a$) удовлетворяют неравенствам треугольника для сторон с длинами $b, m_a, \frac{a}{2}$.

1 Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

Формулировка теоремы

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Нам необходимо доказать, что сумма его углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

1. Через вершину $B$ проведем прямую $d$, параллельную стороне $AC$.

2. Эта прямая образует развернутый угол при вершине $B$, который равен $180^\circ$. Этот угол состоит из трех частей: угла $\angle B$ самого треугольника и двух углов, образованных прямой $d$ со сторонами $AB$ и $BC$. Обозначим эти углы как $\angle 1$ (между $AB$ и $d$) и $\angle 2$ (между $BC$ и $d$).

Сумма этих трех углов равна развернутому углу: $\angle 1 + \angle B + \angle 2 = 180^\circ$.

3. Угол $\angle 1$ и угол $\angle A$ треугольника являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $d$ и $AC$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых, эти углы равны: $\angle 1 = \angle A$.

4. Аналогично, угол $\angle 2$ и угол $\angle C$ треугольника являются внутренними накрест лежащими углами при тех же параллельных прямых $d$ и $AC$, но при секущей $BC$. Следовательно, они также равны: $\angle 2 = \angle C$.

5. Теперь подставим равенства из пунктов 3 и 4 в формулу из пункта 2. Заменим $\angle 1$ на $\angle A$ и $\angle 2$ на $\angle C$:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Доказательство строится на проведении прямой, параллельной одной из сторон треугольника, через противолежащую вершину и использовании равенства внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

2 Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Какой угол называется внешним углом треугольника?

Внешним углом треугольника называется угол, который является смежным с одним из внутренних углов этого треугольника. Поскольку у треугольника три вершины, у него можно построить три пары внешних углов (по два при каждой вершине, которые равны между собой как вертикальные).

Ответ: Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов.

Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольный треугольник, например, `?ABC`.

Дано:
`?ABC` — треугольник.
`?1`, `?2`, `?3` — внутренние углы треугольника при вершинах `A`, `B` и `C` соответственно.
`?4` — внешний угол при вершине `C`, смежный с `?3`.

Доказать:
`$?4 = ?1 + ?2$`

Доказательство:

1. Сумма углов любого треугольника равна `$180°$`. Для `?ABC` это означает:
   `$?1 + ?2 + ?3 = 180°$`
2. По определению, внешний угол `?4` смежен с внутренним углом `?3`. Сумма смежных углов равна `$180°$`. Следовательно:
   `$?3 + ?4 = 180°$`
3. Мы получили два выражения, оба равные `$180°$`. Мы можем их приравнять:
   `$?1 + ?2 + ?3 = ?3 + ?4$`
4. Вычтем из обеих частей равенства величину угла `?3`:
   `$?1 + ?2 = ?4$`

Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника (`?4`) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (`?1` и `?2`). Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух внутренних углов, не смежных с ним.