Номер 293, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 293, страница 86.

293 Даны пересекающиеся прямые a и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой b на расстояние PQ.

Для решения этой задачи воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $X$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Принадлежать прямой $a$.
2. Находиться на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$, от прямой $b$.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от некоторой прямой на заданное расстояние, являются две параллельные прямые, расположенные по разные стороны от данной прямой.

Таким образом, искомые точки являются точками пересечения прямой $a$ с двумя прямыми, параллельными прямой $b$ и удаленными от нее на расстояние $|PQ|$.

Построение

1. Сначала построим геометрическое место точек, удаленных от прямой $b$ на расстояние, равное длине отрезка $PQ$.
   • Выберем на прямой $b$ произвольную точку $K$.
   • Через точку $K$ проведем прямую $k$, перпендикулярную прямой $b$ (для этого можно построить окружность с центром в $K$, найти две точки ее пересечения с прямой $b$, а затем построить серединный перпендикуляр к отрезку между этими точками).
   • С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$.
   • На перпендикулярной прямой $k$ отложим от точки $K$ по обе стороны отрезки, равные по длине $PQ$. Получим точки $M_1$ и $M_2$ так, что $|KM_1| = |KM_2| = |PQ|$.
   • Через точку $M_1$ проведем прямую $c_1$, параллельную прямой $b$.
   • Через точку $M_2$ проведем прямую $c_2$, параллельную прямой $b$. (Чтобы построить прямую, параллельную данной, можно через точку провести перпендикуляр к перпендикуляру).
   Прямые $c_1$ и $c_2$ являются искомым ГМТ.
2. Прямая $a$ пересекается с построенными прямыми $c_1$ и $c_2$ в искомых точках. Обозначим их $X_1$ и $X_2$.
   • $X_1 = a \cap c_1$
   • $X_2 = a \cap c_2$

Доказательство: По построению, точки $X_1$ и $X_2$ лежат на прямой $a$. Расстояние от любой точки прямой $c_1$ до прямой $b$ равно $|KM_1| = |PQ|$. Поскольку $X_1 \in c_1$, расстояние от $X_1$ до прямой $b$ равно $|PQ|$. Аналогично, поскольку $X_2 \in c_2$, расстояние от $X_2$ до прямой $b$ равно $|PQ|$.

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются, значит, они не параллельны. Так как $c_1 \parallel b$ и $c_2 \parallel b$, то прямая $a$ не параллельна ни прямой $c_1$, ни прямой $c_2$. Следовательно, прямая $a$ пересекает каждую из прямых $c_1$ и $c_2$ ровно в одной точке. Таким образом, задача всегда имеет два решения.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения прямой $a$ с двумя прямыми, которые параллельны прямой $b$ и находятся от нее на расстоянии, равном длине отрезка $PQ$. Таких точек две.