Номер 287, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. 38. Построение треугольника по трём элементам - номер 287, страница 85.

Условие.

287* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана прямая $a$ и расстояние $d > 0$. Рассмотрим множество точек, которые расположены по одну сторону от прямой $a$ и находятся на расстоянии $d$ от нее.

Выберем две произвольные различные точки $A$ и $B$ из этого множества. По определению расстояния от точки до прямой, длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, равна этому расстоянию. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на прямую $a$.

Таким образом, мы имеем отрезки $AA_1$ и $BB_1$, для которых выполняются следующие условия:
1. $AA_1 \perp a$ и $BB_1 \perp a$.
2. $AA_1 = d$ и $BB_1 = d$.

Поскольку две прямые ($AA_1$ и $BB_1$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($a$), они параллельны между собой: $AA_1 \parallel BB_1$.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. В этом четырехугольнике две противоположные стороны, $AA_1$ и $BB_1$, параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $AA_1B_1B$ является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что другая пара его противоположных сторон, $AB$ и $A_1B_1$, также параллельна. То есть, $AB \parallel A_1B_1$. Так как точки $A_1$ и $B_1$ лежат на прямой $a$, то прямая, содержащая отрезок $A_1B_1$, совпадает с прямой $a$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $A$ и $B$ (назовем ее $b$), параллельна прямой $a$.

Мы доказали, что любые две точки из заданного множества лежат на прямой, параллельной прямой $a$. Теперь докажем, что все точки этого множества лежат на одной и той же прямой $b$.

Возьмем любую другую точку $C$ из нашего множества. Точка $C$ лежит с той же стороны от прямой $a$ и на расстоянии $d$ от нее. Проведя аналогичные рассуждения для точек $A$ и $C$, мы получим, что прямая $AC$ также параллельна прямой $a$.

Итак, мы имеем две прямые (прямая $b$, проходящая через $A$ и $B$, и прямая $AC$), которые проходят через одну и ту же точку $A$ и обе параллельны прямой $a$. Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Так как все наши точки $A$, $B$, $C$ находятся на расстоянии $d>0$ от прямой $a$, они не лежат на ней. Следовательно, прямая $b$ и прямая $AC$ должны совпадать.

Это означает, что точка $C$ лежит на прямой $b$. Поскольку точка $C$ была выбрана произвольно, все точки, удовлетворяющие заданному условию, лежат на одной прямой $b$, которая параллельна данной прямой $a$.

Ответ: Утверждение доказано. Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на одной прямой, параллельной данной.