Номер 283, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 283, страница 85.

283 На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника ABC.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC$ и $BC$. На основании $AB$ взята точка $M$, которая равноудалена от боковых сторон. Требуется доказать, что $CM$ является высотой треугольника $ABC$.

Доказательство

1. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляры к боковым сторонам $AC$ и $BC$. Обозначим основания этих перпендикуляров как точки $P$ и $Q$ соответственно. Таким образом, по построению, $MP \perp AC$ и $MQ \perp BC$.

2. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$. Это означает, что длины перпендикуляров $MP$ и $MQ$ равны:

$MP = MQ$.

3. Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались в результате нашего построения: $\triangle CMP$ и $\triangle CMQ$. Углы $\angle MPC$ и $\angle MQC$ прямые, так как $MP$ и $MQ$ — перпендикуляры.

• Сторона $CM$ является общей для обоих треугольников и служит их гипотенузой.
• Катеты $MP$ и $MQ$ равны по условию ($MP = MQ$).

4. Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, мы можем заключить, что $\triangle CMP \cong \triangle CMQ$.

5. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие напротив равных катетов $MP$ и $MQ$:

$\angle PCM = \angle QCM$, что можно также записать как $\angle ACM = \angle BCM$.

6. Это равенство углов означает, что отрезок $CM$ делит угол $\angle ACB$ пополам, то есть $CM$ является биссектрисой угла при вершине $C$ треугольника $ABC$.

7. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) биссектриса, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является также медианой и высотой (по свойству равнобедренного треугольника).

8. Так как $CM$ — это биссектриса, проведенная к основанию $AB$, она также является и высотой треугольника $ABC$. А это значит, что $CM$ перпендикулярна основанию $AB$.

Таким образом, мы доказали, что $CM$ — высота треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок $CM$ является высотой треугольника $ABC$.