Номер 279, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. Построение треугольника по трём элементам. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 279, страница 85.

279 Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Обозначим длину перпендикуляра как $h$, а длину наклонной как $l$.

Из геометрии известно, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, всегда короче любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. Следовательно, $l > h$.

Согласно условию задачи, у нас есть два соотношения:

1. Сумма длин перпендикуляра и наклонной равна 17 см: $l + h = 17$.

2. Разность длин наклонной и перпендикуляра равна 1 см: $l - h = 1$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} l + h = 17 \\ l - h = 1 \end{cases} $

Для решения системы можно сложить два уравнения. Это позволит исключить переменную $h$:

$(l + h) + (l - h) = 17 + 1$

$2l = 18$

$l = \frac{18}{2} = 9$

Таким образом, длина наклонной равна 9 см. Теперь, зная $l$, мы можем найти $h$, подставив значение $l$ в любое из уравнений. Воспользуемся вторым уравнением:

$9 - h = 1$

$h = 9 - 1$

$h = 8$

Длина перпендикуляра равна 8 см. Так как расстояние от точки до прямой — это и есть длина перпендикуляра, то искомое расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см.