Номер 273, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 273, страница 80.

273 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Формулировка утверждения

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ являются прямыми ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).

Пусть по условию катет $AC$ равен катету $A_1C_1$, а противолежащий ему угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$.

Дано:
1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные.
2. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
3. $AC = A_1C_1$ (равные катеты).
4. $\angle B = \angle B_1$ (равные противолежащие углы).

Требуется доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Сумма острых углов в любом прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Для треугольника $\triangle ABC$ имеем: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда $\angle A = 90^\circ - \angle B$.
Для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$. Отсюда $\angle A_1 = 90^\circ - \angle B_1$.

Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, то из полученных равенств следует, что $\angle A = \angle A_1$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

1. $AC = A_1C_1$ (по условию).
2. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию, что треугольники прямоугольные).
3. $\angle A = \angle A_1$ (как доказано выше).

Сторона $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle C$ треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны стороне $A_1C_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по второму признаку равенства треугольников (или по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение "Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны" доказано.