Номер 270, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 270, страница 79.

270 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B = 112°.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и углом при вершине $\angle B = 112^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, углы при основании можно найти по формуле:

$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle B) / 2 = (180^\circ - 112^\circ) / 2 = 68^\circ / 2 = 34^\circ$.

Так как угол $\angle B = 112^\circ$ является тупым, высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, падает на продолжение стороны $BC$ за вершину $B$. Таким образом, точка $H$ лежит на прямой $BC$, и порядок точек на этой прямой: $H$, $B$, $C$. Биссектриса $AF$ угла $\angle BAC$ пересекает сторону $BC$, поэтому точка $F$ лежит на отрезке $BC$.

Найти угол AHF

По определению, высота $AH$ перпендикулярна прямой, содержащей сторону $BC$. Точки $H$ и $F$ лежат на этой прямой. Следовательно, треугольник $AHF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

$\angle AHF = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Найти угол HAF

Угол $\angle HAF$ состоит из двух углов: $\angle HAB$ и $\angle BAF$. Найдем каждый из них.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно, $\angle HAB = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$.

2. $AF$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Мы нашли, что $\angle BAC = 34^\circ$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому $\angle BAF = \angle BAC / 2 = 34^\circ / 2 = 17^\circ$.

3. Так как точка $B$ лежит между точками $H$ и $F$, то угол $\angle HAF$ равен сумме углов $\angle HAB$ и $\angle BAF$.

$\angle HAF = \angle HAB + \angle BAF = 22^\circ + 17^\circ = 39^\circ$.

Ответ: $39^\circ$.

Найти угол AFH

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Мы рассматриваем прямоугольный треугольник $AHF$, в котором уже известны два угла: $\angle AHF = 90^\circ$ и $\angle HAF = 39^\circ$. Третий угол $\angle AFH$ находим следующим образом:

$\angle AFH = 180^\circ - \angle AHF - \angle HAF = 180^\circ - 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$.

Ответ: $51^\circ$.