Страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

259 Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник.

По свойству прямоугольного треугольника, один из его углов равен $90^\circ$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. В прямоугольном треугольнике равными могут быть только острые углы, так как если бы два угла были по $90^\circ$, их сумма уже составляла бы $180^\circ$, что невозможно для треугольника.

Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

Обозначим равные острые углы через $ \alpha $. Тогда, исходя из теоремы о сумме углов треугольника, мы можем составить уравнение:
$ \alpha + \alpha + 90^\circ = 180^\circ $

Решим это уравнение:
$ 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ $
$ 2\alpha = 180^\circ - 90^\circ $
$ 2\alpha = 90^\circ $
$ \alpha = \frac{90^\circ}{2} $
$ \alpha = 45^\circ $

Таким образом, в равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, а два других угла равны по $45^\circ$.

Ответ: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.

260 В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°.

Поскольку треугольник $CDE$ является равнобедренным с основанием $CE$, его углы при основании равны. Следовательно, $\angle DCE = \angle DEC$.

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $CDE$ это записывается как:

$\angle D + \angle DCE + \angle DEC = 180^\circ$

Так как $\angle DCE = \angle DEC$, мы можем заменить $\angle DCE$ на $\angle DEC$ и использовать известное значение $\angle D = 54^\circ$:

$54^\circ + \angle DEC + \angle DEC = 180^\circ$

$54^\circ + 2 \cdot \angle DEC = 180^\circ$

Теперь найдем величину угла $\angle DEC$:

$2 \cdot \angle DEC = 180^\circ - 54^\circ$

$2 \cdot \angle DEC = 126^\circ$

$\angle DEC = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ$

По условию, $CF$ — это высота, проведенная к стороне $DE$. Это означает, что $CF$ перпендикулярна $DE$, и, следовательно, треугольник $CFE$ является прямоугольным, где $\angle CFE = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Для треугольника $CFE$ это означает:

$\angle ECF + \angle FEC = 90^\circ$

Угол $\angle FEC$ — это тот же самый угол, что и $\angle DEC$, который мы уже вычислили. Подставим его значение в уравнение:

$\angle ECF + 63^\circ = 90^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle ECF$:

$\angle ECF = 90^\circ - 63^\circ$

$\angle ECF = 27^\circ$

Ответ: $27^\circ$.

261 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Один из его углов по условию равен $90^\circ$, другой — $60^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол будет равен:

$180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Мы имеем дело с прямоугольным треугольником, острые углы которого равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

В любом треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. В нашем случае наименьший угол равен $30^\circ$, следовательно, катет, противолежащий этому углу, является меньшим из двух катетов.

Существует важное свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Обозначим длину меньшего катета как a, а длину гипотенузы как c. Согласно свойству, мы можем записать следующее соотношение:

$a = \frac{c}{2}$

По условию задачи сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см. Запишем это в виде уравнения:

$c + a = 26,4$

Теперь мы можем подставить выражение для a из первого уравнения во второе, чтобы найти гипотенузу c:

$c + \frac{c}{2} = 26,4$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2c + c}{2} = 26,4$

$\frac{3c}{2} = 26,4$

Выразим c:

$3c = 26,4 \cdot 2$

$3c = 52,8$

$c = \frac{52,8}{3}$

$c = 17,6$ см.

Ответ: 17,6 см.

262 В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + AB = 18 см. Найдите АС и AB.

1. Нахождение внутреннего угла A
Внешний угол при вершине $A$ и внутренний угол $A$ (угол $BAC$) являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Зная, что внешний угол по условию равен $120^\circ$, находим внутренний угол треугольника при этой вершине:
$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Установление связи между сторонами AC и AB
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (где $\angle C = 90^\circ$) катет $AC$ является прилежащим к углу $A$, а $AB$ — гипотенузой. Их отношение определяется через косинус угла $A$:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$.
Подставим значение угла $A = 60^\circ$:
$\cos(60^\circ) = \frac{AC}{AB}$.
Так как значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{AC}{AB}$.
Отсюда следует, что $AB = 2 \cdot AC$.

3. Вычисление длин сторон
Нам дано условие: $AC + AB = 18$ см.
Подставим в это уравнение выражение для $AB$, полученное на предыдущем шаге ($AB = 2 \cdot AC$):
$AC + 2 \cdot AC = 18$.
$3 \cdot AC = 18$.
Находим длину катета $AC$:
$AC = \frac{18}{3} = 6$ см.
Теперь находим длину гипотенузы $AB$:
$AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: $AC = 6$ см, $AB = 12$ см.

263 Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если AB = 12 см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его стороны равны и все углы равны $60^\circ$. По условию $AB = 12$ см, следовательно, $AB = BC = AC = 12$ см, а $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Точка $D$ — середина стороны $BC$. Это значит, что она делит сторону $BC$ на два равных отрезка. Найдем длину отрезка $DC$:

$DC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $DMC$. По условию, из точки $D$ проведен перпендикуляр $DM$ к прямой $AC$, следовательно, $\angle DMC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $DMC$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $DC = 6$ см и прилежащий к катету $MC$ угол $\angle C = 60^\circ$.

Чтобы найти длину катета $MC$, воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle C) = \frac{MC}{DC}$

Отсюда выразим $MC$:

$MC = DC \cdot \cos(\angle C) = 6 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$MC = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$. Длина отрезка $AM$ равна разности длин отрезков $AC$ и $MC$:

$AM = AC - MC = 12 - 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

264 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Угол, противолежащий основанию, равен $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
$\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, $AH = 9$ см. Поскольку угол $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, высота $AH$ будет лежать вне треугольника и опускаться на продолжение стороны $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нем катет $AH$ лежит напротив угла $\angle C = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Гипотенузой в $\triangle AHC$ является основание $AC$ исходного треугольника.
Следовательно, $AH = \frac{1}{2} AC$.

Отсюда мы можем найти основание $AC$:
$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Проверка другим способом:
Рассмотрим треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$), мы можем найти боковую сторону $AB$:
$\sin(60^\circ) = \frac{AH}{AB} \implies AB = \frac{AH}{\sin(60^\circ)} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см.
Теперь, зная две стороны ($AB=BC=6\sqrt{3}$) и угол между ними ($\angle B = 120^\circ$), найдем основание $AC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{2})$
$AC^2 = 108 + 108 - 2 \cdot 108 \cdot (-\frac{1}{2}) = 216 + 108 = 324$
$AC = \sqrt{324} = 18$ см.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 18 см.

265 Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию задачи, высота $BH = 7,6$ см, а боковая сторона $AB = BC = 15,2$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Также в равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем гипотенузой является боковая сторона $AB = 15,2$ см, а противолежащим катетом к углу $BAH$ (он же угол $A$ треугольника $ABC$) является высота $BH = 7,6$ см.

Для нахождения угла $A$ воспользуемся определением синуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$

Подставим в формулу известные значения:

$\sin(\angle A) = \frac{7,6}{15,2} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\angle A = 30^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то угол при основании $\angle C$ равен углу $\angle A$:

$\angle C = \angle A = 30^\circ$

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$.

266 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Проведём высоты $AH_1$ и $CH_2$ из вершин основания $A$ и $C$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. По определению высоты, отрезок $AH_1$ перпендикулярен стороне $BC$, а отрезок $CH_2$ перпендикулярен стороне $AB$. Это означает, что углы $\angle AH_1B$ и $\angle CH_2B$ прямые, то есть $\angle AH_1B = \angle CH_2B = 90^\circ$.

Рассмотрим образовавшиеся прямоугольные треугольники $\triangle ABH_1$ и $\triangle CBH_2$.
1. Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABH_1$ равна гипотенузе $CB$ треугольника $\triangle CBH_2$, так как это боковые стороны равнобедренного треугольника $ABC$.
2. Угол $\angle B$ (или $\angle ABH_1$ и $\angle CBH_2$) является общим для этих двух треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH_1$ и $\triangle CBH_2$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. Катет $AH_1$ в треугольнике $\triangle ABH_1$ соответствует катету $CH_2$ в треугольнике $\triangle CBH_2$. Значит, $AH_1 = CH_2$.

Таким образом, мы доказали, что высоты, проведённые из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.

Ответ: Утверждение доказано: высоты, проведённые из вершин основания в равнобедренном треугольнике, равны.

267 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что △ABС = △А₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и ВD = В₁D₁.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

По условию задачи, углы $\angle A$ и $\angle A_1$ в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ являются прямыми, то есть $\angle A = \angle A_1 = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ также являются прямоугольными.

В условии сказано, что $BD$ — биссектриса угла $\angle B$, следовательно, $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Аналогично, $B_1D_1$ — биссектриса угла $\angle B_1$, поэтому $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$.

Так как по условию $\angle B = \angle B_1$, то и половины этих углов равны: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. У них равны:
1. Гипотенузы $BD = B_1D_1$ (по условию).
2. Острые углы $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (как доказано выше).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих катетов: $AB = A_1B_1$.

Далее рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Они являются прямоугольными. Для доказательства их равенства воспользуемся признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Мы имеем:
1. Катет $AB$ равен катету $A_1B_1$ (из доказанного равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$).
2. Прилежащий к этому катету острый угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$ (по условию).
Таким образом, условия признака равенства выполняются.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.

268 Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.

Пусть в остроугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, а основанием — $BC$. Это означает, что $AB = AC$ и углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

Пусть $BE$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, и $CD$ — высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. По определению высоты, $BE \perp AC$ и $CD \perp AB$. Следовательно, $\angle AEB = 90^\circ$ и $\angle ADC = 90^\circ$.

Высоты $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ по условию.

Рассмотрим четырехугольник $AEMD$. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$.

$\angle EAD + \angle ADM + \angle DME + \angle MEA = 360^\circ$

Разберем каждый угол в этом выражении:

• $\angle EAD$ — это и есть угол $\angle BAC$ треугольника $ABC$.
• $\angle ADM$ — это угол $\angle ADC$, который равен $90^\circ$, так как $CD$ — высота.
• $\angle MEA$ — это угол $\angle AEB$, который равен $90^\circ$, так как $BE$ — высота.
• Угол $\angle DME$ и угол $\angle BMC$ являются вертикальными, а значит, они равны. По условию задачи, $\angle BMC = 140^\circ$, следовательно, $\angle DME = 140^\circ$.

Теперь подставим найденные значения углов в формулу суммы углов четырехугольника $AEMD$:

$\angle BAC + 90^\circ + 140^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC + 320^\circ = 360^\circ$

Отсюда находим угол при вершине $A$:

$\angle BAC = 360^\circ - 320^\circ = 40^\circ$

Теперь, зная угол при вершине равнобедренного треугольника, найдем углы при основании. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

Так как $\angle ABC = \angle ACB$, мы можем записать:

$40^\circ + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 140^\circ$

$\angle ABC = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$

Таким образом, $\angle ABC = \angle ACB = 70^\circ$.

Мы нашли все углы треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Все они меньше $90^\circ$, что соответствует условию об остроугольном треугольнике.

Ответ: углы треугольника равны $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

269 Высоты AA₁ и ВВ₁ треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором проведены высоты $AA_1$ к стороне $BC$ и $BB_1$ к стороне $AC$. Точка пересечения этих высот — $M$. По условию задачи известны углы треугольника: $\angle A = 55^\circ$ и $\angle B = 67^\circ$. Требуется найти угол $\angle AMB$.

Решение:

Существует несколько способов решения этой задачи. Рассмотрим один из них, использующий свойства четырехугольника.

1. Сначала найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
Подставляя известные значения, получаем:
$\angle C = 180^\circ - (55^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.

2. Теперь рассмотрим четырехугольник $A_1MB_1C$. Точки $A_1$ и $B_1$ являются основаниями высот. По определению высоты, $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Это означает, что углы $\angle CA_1M$ (он же $\angle CA_1A$) и $\angle CB_1M$ (он же $\angle CB_1B$) являются прямыми:
$\angle CA_1M = 90^\circ$
$\angle CB_1M = 90^\circ$

3. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Применим это свойство к четырехугольнику $A_1MB_1C$:
$\angle C + \angle CA_1M + \angle A_1MB_1 + \angle MB_1C = 360^\circ$
Подставим известные нам величины углов:
$58^\circ + 90^\circ + \angle A_1MB_1 + 90^\circ = 360^\circ$
Сложим известные углы:
$\angle A_1MB_1 + 238^\circ = 360^\circ$
Отсюда находим угол $\angle A_1MB_1$:
$\angle A_1MB_1 = 360^\circ - 238^\circ = 122^\circ$.

4. Углы $\angle AMB$ и $\angle A_1MB_1$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых ($AA_1$ и $BB_1$). Вертикальные углы равны между собой.
Следовательно, $\angle AMB = \angle A_1MB_1$.
$\angle AMB = 122^\circ$.

Ответ: $122^\circ$.

270 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B = 112°.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и углом при вершине $\angle B = 112^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, углы при основании можно найти по формуле:

$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle B) / 2 = (180^\circ - 112^\circ) / 2 = 68^\circ / 2 = 34^\circ$.

Так как угол $\angle B = 112^\circ$ является тупым, высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, падает на продолжение стороны $BC$ за вершину $B$. Таким образом, точка $H$ лежит на прямой $BC$, и порядок точек на этой прямой: $H$, $B$, $C$. Биссектриса $AF$ угла $\angle BAC$ пересекает сторону $BC$, поэтому точка $F$ лежит на отрезке $BC$.

Найти угол AHF

По определению, высота $AH$ перпендикулярна прямой, содержащей сторону $BC$. Точки $H$ и $F$ лежат на этой прямой. Следовательно, треугольник $AHF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

$\angle AHF = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Найти угол HAF

Угол $\angle HAF$ состоит из двух углов: $\angle HAB$ и $\angle BAF$. Найдем каждый из них.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно, $\angle HAB = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$.

2. $AF$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Мы нашли, что $\angle BAC = 34^\circ$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому $\angle BAF = \angle BAC / 2 = 34^\circ / 2 = 17^\circ$.

3. Так как точка $B$ лежит между точками $H$ и $F$, то угол $\angle HAF$ равен сумме углов $\angle HAB$ и $\angle BAF$.

$\angle HAF = \angle HAB + \angle BAF = 22^\circ + 17^\circ = 39^\circ$.

Ответ: $39^\circ$.

Найти угол AFH

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Мы рассматриваем прямоугольный треугольник $AHF$, в котором уже известны два угла: $\angle AHF = 90^\circ$ и $\angle HAF = 39^\circ$. Третий угол $\angle AFH$ находим следующим образом:

$\angle AFH = 180^\circ - \angle AHF - \angle HAF = 180^\circ - 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$.

Ответ: $51^\circ$.