Страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

241 Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) AB > ВС > АС; б) AB = АС < ВС.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Также против равных сторон лежат равные углы.

а) По условию дано неравенство для сторон треугольника $ABC$: $AB > BC > AC$.

Применим теорему о соотношении сторон и углов:

• Угол, лежащий против стороны $AB$, — это угол $C$.
• Угол, лежащий против стороны $BC$, — это угол $A$.
• Угол, лежащий против стороны $AC$, — это угол $B$.

Из неравенства $AB > BC$ следует, что $\angle C > \angle A$.

Из неравенства $BC > AC$ следует, что $\angle A > \angle B$.

Объединив эти два результата, мы можем сравнить все три угла треугольника: $\angle C > \angle A > \angle B$.

Теперь выясним, может ли угол $A$ быть тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Допустим, что $\angle A$ — тупой, то есть $\angle A > 90^\circ$.

Так как мы установили, что $\angle C > \angle A$, то из нашего допущения следует, что $\angle C$ также должен быть больше $90^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ было бы два тупых угла: $\angle A$ и $\angle C$. Их сумма была бы $\angle A + \angle C > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Однако, по теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трёх углов должна быть равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Полученное нами неравенство $\angle A + \angle C > 180^\circ$ противоречит этой теореме, так как сумма только двух углов уже превышает $180^\circ$.

Следовательно, наше допущение было неверным. Угол $A$ не может быть тупым.

Ответ: $\angle C > \angle A > \angle B$; угол $A$ не может быть тупым.

б) По условию дано соотношение сторон: $AB = AC < BC$.

Так как стороны $AB$ и $AC$ равны, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $BC$, значит, углы при основании — это $\angle B$ и $\angle C$. Следовательно, $\angle B = \angle C$.

Теперь используем неравенство $AC < BC$.

• Угол, лежащий против стороны $AC$, — это угол $B$.
• Угол, лежащий против стороны $BC$, — это угол $A$.

Из неравенства $AC < BC$ следует, что $\angle B < \angle A$.

Объединив результаты, получаем следующее соотношение для углов: $\angle A > \angle B = \angle C$.

Теперь выясним, может ли угол $A$ быть тупым. Поскольку $\angle A$ является наибольшим углом в треугольнике, он может быть тупым (в треугольнике не может быть более одного тупого угла).

Проверим, возможно ли это. Сумма углов треугольника $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle B = \angle C$, мы можем записать: $\angle A + 2\angle B = 180^\circ$.

Допустим, угол $A$ тупой. Возьмем для примера $\angle A = 120^\circ$.

Тогда $120^\circ + 2\angle B = 180^\circ$. Отсюда $2\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, и $\angle B = 30^\circ$.

Значит, $\angle C = \angle B = 30^\circ$. Мы получили треугольник с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$. Такой треугольник существует. Проверим, удовлетворяет ли он условию на стороны $AB = AC < BC$.

Так как $\angle B = \angle C = 30^\circ$, то противолежащие им стороны $AC$ и $AB$ равны: $AC = AB$.

Так как $\angle A = 120^\circ > \angle B = 30^\circ$, то противолежащая углу $A$ сторона $BC$ больше, чем противолежащая углу $B$ сторона $AC$: $BC > AC$.

Таким образом, соотношение $AB = AC < BC$ выполняется. Мы привели пример, в котором угол $A$ является тупым, и условия задачи соблюдаются. Следовательно, угол $A$ может быть тупым.

Ответ: $\angle A > \angle B = \angle C$; угол $A$ может быть тупым.

242 Сравните стороны треугольника ABC, если: a) ∠A > ∠B > ∠C; б) ∠A > ∠B = ∠C.

Для решения этой задачи используется теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Она утверждает, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол. Соответственно, против равных углов лежат равные стороны.

В треугольнике $ABC$ стороне $BC$ противолежит угол $A$, стороне $AC$ противолежит угол $B$, а стороне $AB$ противолежит угол $C$.

а)

По условию дано, что углы треугольника соотносятся как $\angle A > \angle B > \angle C$.

Применим теорему о соотношении сторон и углов:

1. Поскольку $\angle A > \angle B$, сторона, лежащая напротив угла $A$ ($BC$), больше стороны, лежащей напротив угла $B$ ($AC$). Таким образом, $BC > AC$.

2. Поскольку $\angle B > \angle C$, сторона, лежащая напротив угла $B$ ($AC$), больше стороны, лежащей напротив угла $C$ ($AB$). Таким образом, $AC > AB$.

Объединяя эти два неравенства, мы получаем итоговое соотношение для сторон треугольника: $BC > AC > AB$.

Ответ: $BC > AC > AB$.

б)

По условию дано, что $\angle A > \angle B = \angle C$.

Применим ту же теорему:

1. Поскольку $\angle A > \angle B$, сторона, лежащая напротив угла $A$ ($BC$), больше стороны, лежащей напротив угла $B$ ($AC$). Таким образом, $BC > AC$.

2. Поскольку $\angle B = \angle C$, стороны, лежащие напротив этих углов, равны. Сторона напротив угла $B$ — это $AC$, а сторона напротив угла $C$ — это $AB$. Следовательно, $AC = AB$.

Объединяя эти результаты, получаем соотношение для сторон: $BC > AC = AB$. (Такой треугольник является равнобедренным с основанием $BC$).

Ответ: $BC > AC = AB$.

243 Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$. Пусть $M$ — любая точка на основании $AC$, которая не совпадает с вершинами $A$ и $C$. Необходимо доказать, что отрезок $BM$, соединяющий эту точку с противоположной вершиной $B$, меньше боковой стороны, то есть $BM < AB$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Чтобы сравнить длины сторон $AB$ и $BM$, воспользуемся теоремой о соотношении сторон и углов треугольника: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, нам нужно сравнить величины углов, лежащих напротив этих сторон, — $\angle AMB$ и $\angle BAM$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Угол $\angle BAM$ является тем же самым углом, что и $\angle BAC$.

Теперь рассмотрим угол $\angle AMB$. Он является смежным с углом $\angle BMC$, а также является внешним углом для треугольника $\triangle BMC$. Согласно свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AMB = \angle MBC + \angle MCB$.

Угол $\angle MCB$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$. Как мы установили ранее, $\angle BCA = \angle BAC = \angle BAM$. Заменим $\angle MCB$ на $\angle BAM$ в формуле для внешнего угла: $\angle AMB = \angle MBC + \angle BAM$.

По условию, точка $M$ лежит на отрезке $AC$ и не совпадает с вершиной $C$. Это означает, что отрезок $BM$ не совпадает с $BC$, и угол $\angle MBC$ имеет положительную величину, то есть $\angle MBC > 0$.

Из этого следует, что $\angle AMB$ строго больше, чем $\angle BAM$: $\angle AMB = \angle BAM + \angle MBC > \angle BAM$.

Итак, в треугольнике $\triangle ABM$ мы имеем неравенство для углов: $\angle AMB > \angle BAM$. Напротив угла $\angle AMB$ лежит сторона $AB$, а напротив угла $\angle BAM$ лежит сторона $BM$. Применяя теорему о соотношении сторон и углов, получаем, что сторона, лежащая против большего угла, длиннее: $AB > BM$.

Поскольку $AB = BC$, то и $BC > BM$. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике $\triangle ABM$, образованном боковой стороной $AB$, отрезком $BM$ и частью основания $AM$, угол $\angle AMB$ больше угла $\angle BAM$. Это следует из того, что $\angle AMB$ является внешним для треугольника $\triangle BMC$ и равен сумме углов $\angle MBC + \angle BCM$, а $\angle BCM$ равен углу при основании $\angle BAM$. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то $AB > BM$.

244 Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Пусть в произвольном треугольнике $ABC$ из вершины $B$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$ к стороне $AC$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$.По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой $AC$. Это означает, что $BH$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Рассмотрим треугольник $BHM$. Поскольку $BH$ является перпендикуляром к прямой $AC$, на которой лежат точки $H$ и $M$, то угол $\angle BHM$ — прямой ($\angle BHM = 90^\circ$). Следовательно, треугольник $BHM$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $BHM$ медиана $BM$ является гипотенузой, так как она лежит напротив прямого угла, а высота $BH$ является одним из катетов.

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше или равна длине любого из катетов. Равенство достигается только в вырожденном случае, когда треугольник "схлопывается" в отрезок, то есть когда длина второго катета ($HM$) равна нулю.

Таким образом, для длин отрезков $BM$ и $BH$ всегда выполняется неравенство:$BM \ge BH$.

Равенство $BM = BH$ имеет место, когда точки $M$ и $H$ совпадают, то есть когда медиана одновременно является и высотой. Это происходит, например, в равнобедренном треугольнике, если они проведены к основанию. Во всех остальных случаях ($M \ne H$), гипотенуза $BM$ будет строго длиннее катета $BH$, то есть $BM > BH$.

Следовательно, мы доказали, что в любом треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении прямоугольного треугольника, образованного медианой, высотой и отрезком на стороне, к которой они проведены. В этом треугольнике медиана является гипотенузой, а высота — катетом. Поскольку гипотенуза в прямоугольном треугольнике никогда не бывает короче катета, то и медиана не может быть меньше высоты, проведенной из той же вершины.

245 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

$AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно. Биссектриса угла делит его на две равные части. Таким образом, мы можем записать:

$\angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC$

$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA$

Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то равны и их половины: $\frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BCA$.

Из этого следует, что $\angle OAC = \angle OCA$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. В этом треугольнике два угла при стороне $AC$ равны ($\angle OAC = \angle OCA$). Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны ($AO = CO$).

Таким образом, треугольник $AOC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $AOC$ является равнобедренным.

246 Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны AB и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

Дано:

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Из определения равнобедренного треугольника следует, что его боковые стороны равны ($AB = AC$), а углы при основании также равны ($?ABC = ?ACB$). Прямая, параллельная основанию $BC$, пересекает боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, у нас есть прямая $MN$, для которой выполняется условие $MN \parallel BC$.

Доказать:

Требуется доказать, что треугольник $AMN$ является равнобедренным.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллельные прямые $MN$ и $BC$ и секущую $AB$. Углы $?AMN$ и $?ABC$ являются соответственными. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $?AMN = ?ABC$.

2. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $MN$ и $BC$, но с секущей $AC$. Углы $?ANM$ и $?ACB$ также являются соответственными. Поэтому они тоже равны: $?ANM = ?ACB$.

3. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что углы при основании равны: $?ABC = ?ACB$.

4. Сопоставим равенства, полученные в предыдущих пунктах. Мы имеем:

• $?AMN = ?ABC$ (из пункта 1)
• $?ANM = ?ACB$ (из пункта 2)
• $?ABC = ?ACB$ (из пункта 3)

Из этих трех равенств следует, что $?AMN = ?ANM$.

5. Рассмотрим треугольник $AMN$. Мы доказали, что два его угла ($?AMN$ и $?ANM$) равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. В треугольнике $AMN$ напротив угла $?ANM$ лежит сторона $AM$, а напротив угла $?AMN$ лежит сторона $AN$. Таким образом, $AM = AN$.

Поскольку две стороны треугольника $AMN$ равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AMN$ является равнобедренным. Это доказывается тем, что углы $?AMN$ и $?ANM$ являются соответственными углами при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущих $AB$ и $AC$. Так как углы при основании исходного равнобедренного треугольника $ABC$ равны ($?ABC = ?ACB$), то и углы $?AMN$ и $?ANM$ равны между собой. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный. Следовательно, $AM = AN$, и треугольник $AMN$ — равнобедренный.

247 Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник $ABC$.

Пусть сторона $AB$ продлена за вершину $B$ до точки $D$. Таким образом, образуется внешний угол треугольника при вершине $B$, который мы обозначим как $\angle DBC$.

Проведем биссектрису $BE$ этого внешнего угла. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle DBC$ пополам, то есть $\angle DBE = \angle EBC$.

По условию задачи, биссектриса $BE$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$. То есть, $BE \parallel AC$.

Нам необходимо доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Это эквивалентно тому, что два его угла равны. Мы докажем, что $\angle BAC = \angle BCA$, из чего будет следовать, что $AB = BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллельные прямые $BE$ и $AC$ и секущую $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Поскольку прямые $BE$ и $AC$ параллельны, эти углы равны:

$\angle EBC = \angle BCA$ (1)

2. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $BE$ и $AC$, но в качестве секущей возьмем прямую $AD$ (которая содержит сторону $AB$). Углы $\angle DBE$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами. Так как прямые $BE$ и $AC$ параллельны, эти углы также равны:

$\angle DBE = \angle BAC$ (2)

3. Из условия мы знаем, что $BE$ — это биссектриса угла $\angle DBC$. Следовательно:

$\angle DBE = \angle EBC$ (3)

4. Теперь сопоставим полученные равенства. Из равенства (3) мы знаем, что левые части равенств (1) и (2) равны между собой ($\angle EBC = \angle DBE$). Это означает, что и их правые части также должны быть равны:

$\angle BCA = \angle BAC$

5. Мы получили, что в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AB = BC$.

Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как биссектриса внешнего угла $BE$ параллельна стороне $AC$, то образуются равные накрест лежащие углы ($\angle EBC = \angle BCA$) и равные соответственные углы ($\angle DBE = \angle BAC$). Поскольку $BE$ — биссектриса, то $\angle DBE = \angle EBC$, из чего следует, что $\angle BCA = \angle BAC$. А треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным.

248 Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА₁ и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что AC = AD.

Рассмотрим треугольник $ABC$, его биссектрису $AA_1$ и прямую $CD$, которая параллельна $AA_1$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Нам нужно доказать, что $AC = AD$.

1. Поскольку $AA_1$ является биссектрисой угла $A$, она делит этот угол на два равных угла: $ \angle CAA_1 = \angle BAA_1 $

2. Рассмотрим параллельные прямые $AA_1$ и $CD$ и секущую $AC$. Углы $ \angle CAA_1 $ и $ \angle ACD $ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, эти углы равны: $ \angle ACD = \angle CAA_1 $

3. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $AA_1$ и $CD$, но в качестве секущей возьмем прямую $AD$ (которая содержит отрезок $AB$). Углы $ \angle BAA_1 $ и $ \angle ADC $ являются соответственными углами. Следовательно, они также равны: $ \angle ADC = \angle BAA_1 $

4. Теперь мы можем сопоставить полученные равенства. Из пункта 1 мы знаем, что $ \angle CAA_1 = \angle BAA_1 $. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $ \angle ACD = \angle CAA_1 $ и $ \angle ADC = \angle BAA_1 $. Объединяя эти три равенства, получаем: $ \angle ACD = \angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \angle ADC $ Отсюда следует, что $ \angle ACD = \angle ADC $.

5. Рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике два угла ($ \angle ACD $ и $ \angle ADC $) равны. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В данном случае треугольник $ADC$ является равнобедренным с основанием $CD$.

6. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Сторона $AD$ лежит против угла $ \angle ACD $, а сторона $AC$ лежит против угла $ \angle ADC $. Так как углы равны, то и противолежащие им стороны равны: $AC = AD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC = AD$ доказано на основе свойств параллельных прямых и определения равнобедренного треугольника.

249 Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону AB в точке Е. Докажите, что треугольник ADE равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ADE$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него равны две стороны или два угла.

1. По условию, отрезок $AD$ — биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$. Это означает, что $AD$ делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle EAD$ и $\angle DAC$. Таким образом, мы имеем первое равенство:
$\angle EAD = \angle DAC$.

2. Также по условию, через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Следовательно, прямые $DE$ и $AC$ параллельны ($DE \parallel AC$).
Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Углы $\angle EDA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны. Отсюда получаем второе равенство:
$\angle EDA = \angle DAC$.

3. Сопоставим полученные равенства:
Поскольку $\angle EAD = \angle DAC$ и $\angle EDA = \angle DAC$, то мы можем заключить, что:
$\angle EAD = \angle EDA$.

4. Мы доказали, что в треугольнике $ADE$ два угла равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов ($AE$ и $DE$), также равны.
Следовательно, треугольник $ADE$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ADE$ является равнобедренным, так как углы при его стороне $AD$ равны ($\angle EAD = \angle EDA$). Это следует из того, что $\angle EAD = \angle CAD$ (поскольку $AD$ — биссектриса), а $\angle EDA = \angle CAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AD$).

250 Через точку пересечения биссектрис ВВ₁ и CC₁ треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN.

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис $BB_1$ и $CC_1$. По условию, через эту точку проведена прямая, параллельная $BC$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$. Таким образом, $MN \parallel BC$.

Рассмотрим треугольник $MBI$. Так как $BI$ является биссектрисой угла $ABC$, то $?MBI = ?IBC$. Углы $?MIB$ и $?IBC$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $BI$. Из равенств $?MBI = ?IBC$ и $?MIB = ?IBC$ следует, что $?MBI = ?MIB$.

Поскольку в треугольнике $MBI$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $BI$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $MI = BM$.

Аналогично рассмотрим треугольник $NCI$. Так как $CI$ является биссектрисой угла $ACB$, то $?NCI = ?ICB$. Углы $?NIC$ и $?ICB$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $CI$. Отсюда следует, что $?NCI = ?NIC$.

Следовательно, треугольник $NCI$ также является равнобедренным с основанием $CI$, и его боковые стороны равны: $NI = CN$.

Длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $MI$ и $NI$, то есть $MN = MI + NI$. Подставив в это выражение доказанные ранее равенства $MI = BM$ и $NI = CN$, получим: $MN = BM + CN$, что и требовалось доказать.

Ответ: $MN = BM + CN$.

251 На рисунке 135 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника ABC, ОE || AB, OD || AC. Докажите, что периметр △EDO равен длине отрезка ВС.

Рассмотрим треугольник $EBO$. По условию задачи $OE \parallel AB$. Прямая $BO$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, углы $\angle EOB$ и $\angle ABO$ равны как накрест лежащие углы.

Также по условию луч $BO$ является биссектрисой угла $\angle B$, а это значит, что он делит угол пополам: $\angle ABO = \angle EBO$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle EOB = \angle EBO$. В треугольнике $EBO$ два угла равны, следовательно, он является равнобедренным с основанием $BO$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Таким образом, $OE = BE$.

Теперь рассмотрим треугольник $DCO$. По условию $OD \parallel AC$, а $CO$ — секущая. Следовательно, углы $\angle DOC$ и $\angle ACO$ равны как накрест лежащие.

Поскольку луч $CO$ — биссектриса угла $\angle C$, то $\angle ACO = \angle DCO$.

Таким образом, мы получаем, что $\angle DOC = \angle DCO$. Это означает, что треугольник $DCO$ также является равнобедренным с основанием $CO$. Следовательно, его боковые стороны равны: $DO = DC$.

Периметр треугольника $\triangle EDO$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle EDO} = OE + ED + DO$.

Используя доказанные выше равенства $OE = BE$ и $DO = DC$, мы можем подставить их в формулу периметра:

$P_{\triangle EDO} = BE + ED + DC$.

Обратим внимание на отрезок $BC$. Точки $E$ и $D$ лежат на этом отрезке, поэтому его длина равна сумме длин составляющих его отрезков: $BC = BE + ED + DC$.

Сравнивая два последних выражения, мы приходим к выводу, что $P_{\triangle EDO} = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что периметр $\triangle EDO$ равен длине отрезка $BC$, доказано.