Номер 249, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 249, страница 74.

249 Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону AB в точке Е. Докажите, что треугольник ADE равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ADE$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него равны две стороны или два угла.

1. По условию, отрезок $AD$ — биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$. Это означает, что $AD$ делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle EAD$ и $\angle DAC$. Таким образом, мы имеем первое равенство:
$\angle EAD = \angle DAC$.

2. Также по условию, через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Следовательно, прямые $DE$ и $AC$ параллельны ($DE \parallel AC$).
Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Углы $\angle EDA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны. Отсюда получаем второе равенство:
$\angle EDA = \angle DAC$.

3. Сопоставим полученные равенства:
Поскольку $\angle EAD = \angle DAC$ и $\angle EDA = \angle DAC$, то мы можем заключить, что:
$\angle EAD = \angle EDA$.

4. Мы доказали, что в треугольнике $ADE$ два угла равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов ($AE$ и $DE$), также равны.
Следовательно, треугольник $ADE$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ADE$ является равнобедренным, так как углы при его стороне $AD$ равны ($\angle EAD = \angle EDA$). Это следует из того, что $\angle EAD = \angle CAD$ (поскольку $AD$ — биссектриса), а $\angle EDA = \angle CAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AD$).