Номер 248, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 248, страница 74.

248 Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА₁ и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что AC = AD.

Рассмотрим треугольник $ABC$, его биссектрису $AA_1$ и прямую $CD$, которая параллельна $AA_1$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Нам нужно доказать, что $AC = AD$.

1. Поскольку $AA_1$ является биссектрисой угла $A$, она делит этот угол на два равных угла: $ \angle CAA_1 = \angle BAA_1 $

2. Рассмотрим параллельные прямые $AA_1$ и $CD$ и секущую $AC$. Углы $ \angle CAA_1 $ и $ \angle ACD $ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, эти углы равны: $ \angle ACD = \angle CAA_1 $

3. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $AA_1$ и $CD$, но в качестве секущей возьмем прямую $AD$ (которая содержит отрезок $AB$). Углы $ \angle BAA_1 $ и $ \angle ADC $ являются соответственными углами. Следовательно, они также равны: $ \angle ADC = \angle BAA_1 $

4. Теперь мы можем сопоставить полученные равенства. Из пункта 1 мы знаем, что $ \angle CAA_1 = \angle BAA_1 $. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $ \angle ACD = \angle CAA_1 $ и $ \angle ADC = \angle BAA_1 $. Объединяя эти три равенства, получаем: $ \angle ACD = \angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \angle ADC $ Отсюда следует, что $ \angle ACD = \angle ADC $.

5. Рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике два угла ($ \angle ACD $ и $ \angle ADC $) равны. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В данном случае треугольник $ADC$ является равнобедренным с основанием $CD$.

6. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Сторона $AD$ лежит против угла $ \angle ACD $, а сторона $AC$ лежит против угла $ \angle ADC $. Так как углы равны, то и противолежащие им стороны равны: $AC = AD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC = AD$ доказано на основе свойств параллельных прямых и определения равнобедренного треугольника.