Номер 244, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 244, страница 74.

244 Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Пусть в произвольном треугольнике $ABC$ из вершины $B$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$ к стороне $AC$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$.По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой $AC$. Это означает, что $BH$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Рассмотрим треугольник $BHM$. Поскольку $BH$ является перпендикуляром к прямой $AC$, на которой лежат точки $H$ и $M$, то угол $\angle BHM$ — прямой ($\angle BHM = 90^\circ$). Следовательно, треугольник $BHM$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $BHM$ медиана $BM$ является гипотенузой, так как она лежит напротив прямого угла, а высота $BH$ является одним из катетов.

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше или равна длине любого из катетов. Равенство достигается только в вырожденном случае, когда треугольник "схлопывается" в отрезок, то есть когда длина второго катета ($HM$) равна нулю.

Таким образом, для длин отрезков $BM$ и $BH$ всегда выполняется неравенство:$BM \ge BH$.

Равенство $BM = BH$ имеет место, когда точки $M$ и $H$ совпадают, то есть когда медиана одновременно является и высотой. Это происходит, например, в равнобедренном треугольнике, если они проведены к основанию. Во всех остальных случаях ($M \ne H$), гипотенуза $BM$ будет строго длиннее катета $BH$, то есть $BM > BH$.

Следовательно, мы доказали, что в любом треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении прямоугольного треугольника, образованного медианой, высотой и отрезком на стороне, к которой они проведены. В этом треугольнике медиана является гипотенузой, а высота — катетом. Поскольку гипотенуза в прямоугольном треугольнике никогда не бывает короче катета, то и медиана не может быть меньше высоты, проведенной из той же вершины.