Номер 250, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 250, страница 74.

250 Через точку пересечения биссектрис ВВ₁ и CC₁ треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN.

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис $BB_1$ и $CC_1$. По условию, через эту точку проведена прямая, параллельная $BC$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$. Таким образом, $MN \parallel BC$.

Рассмотрим треугольник $MBI$. Так как $BI$ является биссектрисой угла $ABC$, то $?MBI = ?IBC$. Углы $?MIB$ и $?IBC$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $BI$. Из равенств $?MBI = ?IBC$ и $?MIB = ?IBC$ следует, что $?MBI = ?MIB$.

Поскольку в треугольнике $MBI$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $BI$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $MI = BM$.

Аналогично рассмотрим треугольник $NCI$. Так как $CI$ является биссектрисой угла $ACB$, то $?NCI = ?ICB$. Углы $?NIC$ и $?ICB$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $CI$. Отсюда следует, что $?NCI = ?NIC$.

Следовательно, треугольник $NCI$ также является равнобедренным с основанием $CI$, и его боковые стороны равны: $NI = CN$.

Длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $MI$ и $NI$, то есть $MN = MI + NI$. Подставив в это выражение доказанные ранее равенства $MI = BM$ и $NI = CN$, получим: $MN = BM + CN$, что и требовалось доказать.

Ответ: $MN = BM + CN$.