Номер 256, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 256, страница 75.

256 Докажите неравенство о длине ломаной. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Докажем данное утверждение, известное как неравенство о длине ломаной, методом математической индукции по числу звеньев ломаной.

Пусть дана ломаная $A_1A_2...A_{n+1}$, состоящая из $n$ звеньев (отрезков): $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_{n+1}$. Концами ломаной являются точки $A_1$ и $A_{n+1}$. Длина ломаной $L$ — это сумма длин её звеньев: $L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_nA_{n+1}|$. Длина отрезка, соединяющего её концы, — это $|A_1A_{n+1}|$. Необходимо доказать, что $L \ge |A_1A_{n+1}|$.

База индукции

Рассмотрим ломаную, состоящую из $n=1$ звена, то есть отрезок $A_1A_2$. В этом случае длина ломаной равна $|A_1A_2|$, и отрезок, соединяющий её концы, — это тот же самый отрезок $A_1A_2$. Неравенство принимает вид $|A_1A_2| \ge |A_1A_2|$, что является верным равенством.

В качестве базы можно также взять случай $n=2$. Ломаная $A_1A_2A_3$ состоит из двух звеньев. Её длина равна $|A_1A_2| + |A_2A_3|$. Отрезок, соединяющий концы, — $A_1A_3$. Для трёх точек $A_1, A_2, A_3$ справедливо неравенство треугольника: $|A_1A_2| + |A_2A_3| \ge |A_1A_3|$. Утверждение верно.

Индукционное предположение

Предположим, что неравенство верно для любой ломаной, состоящей из $k$ звеньев ($k \ge 1$). То есть для ломаной $A_1A_2...A_{k+1}$ выполняется: $|A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_kA_{k+1}| \ge |A_1A_{k+1}|$.

Индукционный шаг

Докажем, что неравенство верно для ломаной, состоящей из $k+1$ звена, то есть для ломаной $A_1A_2...A_{k+2}$. Длина этой ломаной: $L_{k+1} = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_kA_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}|$.

Мы можем представить эту длину как сумму длины ломаной из $k$ звеньев и длины последнего звена: $L_{k+1} = (|A_1A_2| + \dots + |A_kA_{k+1}|) + |A_{k+1}A_{k+2}|$.

К выражению в скобках, представляющему собой длину ломаной $A_1A_2...A_{k+1}$, мы можем применить индукционное предположение: $(|A_1A_2| + \dots + |A_kA_{k+1}|) \ge |A_1A_{k+1}|$.

Следовательно, для длины всей ломаной из $k+1$ звена получаем: $L_{k+1} \ge |A_1A_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}|$.

Теперь рассмотрим три точки: $A_1$, $A_{k+1}$ и $A_{k+2}$. Они образуют треугольник (или лежат на одной прямой). Для них справедливо неравенство треугольника: $|A_1A_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}| \ge |A_1A_{k+2}|$.

Объединяя полученные неравенства, приходим к заключению: $L_{k+1} \ge |A_1A_{k+1}| + |A_{k+1}A_{k+2}| \ge |A_1A_{k+2}|$, что означает $L_{k+1} \ge |A_1A_{k+2}|$.

Это доказывает утверждение для ломаной из $k+1$ звена. Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство о длине ломаной доказано для любого числа звеньев.

Ответ: Утверждение доказано. Длина любой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы. Равенство достигается тогда и только тогда, когда все вершины ломаной лежат на отрезке, соединяющем её концы, и расположены на нём в порядке следования.