Номер 252, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 252, страница 75.

252 На рисунке 136 AB=АС, AP=AQ. Докажите, что:

а) треугольник ВОС равнобедренный;

б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

а) треугольник BOC равнобедренный;

Рассмотрим треугольники $\triangle ABQ$ и $\triangle ACP$.

В них:

$AB = AC$ (по условию).
$AP = AQ$ (по условию).
$\angle A$ — общий.

Следовательно, $\triangle ABQ = \triangle ACP$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle ABQ = \angle ACP$.

Поскольку треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным ($AB = AC$), то углы при его основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

Рассмотрим углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$. Они являются частями углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$ соответственно. Мы можем записать:

$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABQ$

$\angle OCB = \angle ACB - \angle ACP$

Так как правые части этих равенств равны ($\angle ABC = \angle ACB$ и $\angle ABQ = \angle ACP$), то равны и левые части: $\angle OBC = \angle OCB$.

В треугольнике $\triangle BOC$ углы при основании $BC$ равны. По признаку равнобедренного треугольника, $\triangle BOC$ является равнобедренным, и, следовательно, боковые стороны $OB$ и $OC$ равны.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $BOC$ является равнобедренным.

б) прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$.

В них:

$AB = AC$ (по условию).
$OB = OC$ (доказано в пункте а)).
$AO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABO = \triangle ACO$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BAO = \angle CAO$.

Это означает, что отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$ в равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$.

По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

• Как медиана, отрезок, проведенный из точки $A$ через точку $O$ к стороне $BC$, делит основание $BC$ пополам, то есть проходит через его середину.
• Как высота, этот же отрезок перпендикулярен основанию $BC$.

Следовательно, прямая $OA$ проходит через середину основания $BC$ и перпендикулярна к нему.

Ответ: Утверждение доказано, прямая $OA$ проходит через середину основания $BC$ и перпендикулярна к нему.