Номер 247, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника - номер 247, страница 74.

Условие.

247 Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник $ABC$.

Пусть сторона $AB$ продлена за вершину $B$ до точки $D$. Таким образом, образуется внешний угол треугольника при вершине $B$, который мы обозначим как $\angle DBC$.

Проведем биссектрису $BE$ этого внешнего угла. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle DBC$ пополам, то есть $\angle DBE = \angle EBC$.

По условию задачи, биссектриса $BE$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$. То есть, $BE \parallel AC$.

Нам необходимо доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Это эквивалентно тому, что два его угла равны. Мы докажем, что $\angle BAC = \angle BCA$, из чего будет следовать, что $AB = BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллельные прямые $BE$ и $AC$ и секущую $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Поскольку прямые $BE$ и $AC$ параллельны, эти углы равны:

$\angle EBC = \angle BCA$ (1)

2. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $BE$ и $AC$, но в качестве секущей возьмем прямую $AD$ (которая содержит сторону $AB$). Углы $\angle DBE$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами. Так как прямые $BE$ и $AC$ параллельны, эти углы также равны:

$\angle DBE = \angle BAC$ (2)

3. Из условия мы знаем, что $BE$ — это биссектриса угла $\angle DBC$. Следовательно:

$\angle DBE = \angle EBC$ (3)

4. Теперь сопоставим полученные равенства. Из равенства (3) мы знаем, что левые части равенств (1) и (2) равны между собой ($\angle EBC = \angle DBE$). Это означает, что и их правые части также должны быть равны:

$\angle BCA = \angle BAC$

5. Мы получили, что в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AB = BC$.

Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как биссектриса внешнего угла $BE$ параллельна стороне $AC$, то образуются равные накрест лежащие углы ($\angle EBC = \angle BCA$) и равные соответственные углы ($\angle DBE = \angle BAC$). Поскольку $BE$ — биссектриса, то $\angle DBE = \angle EBC$, из чего следует, что $\angle BCA = \angle BAC$. А треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным.