Номер 247, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 247, страница 74.

247 Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник $ABC$.

Пусть сторона $AB$ продлена за вершину $B$ до точки $D$. Таким образом, образуется внешний угол треугольника при вершине $B$, который мы обозначим как $\angle DBC$.

Проведем биссектрису $BE$ этого внешнего угла. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle DBC$ пополам, то есть $\angle DBE = \angle EBC$.

По условию задачи, биссектриса $BE$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$. То есть, $BE \parallel AC$.

Нам необходимо доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Это эквивалентно тому, что два его угла равны. Мы докажем, что $\angle BAC = \angle BCA$, из чего будет следовать, что $AB = BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллельные прямые $BE$ и $AC$ и секущую $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Поскольку прямые $BE$ и $AC$ параллельны, эти углы равны:

$\angle EBC = \angle BCA$ (1)

2. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $BE$ и $AC$, но в качестве секущей возьмем прямую $AD$ (которая содержит сторону $AB$). Углы $\angle DBE$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами. Так как прямые $BE$ и $AC$ параллельны, эти углы также равны:

$\angle DBE = \angle BAC$ (2)

3. Из условия мы знаем, что $BE$ — это биссектриса угла $\angle DBC$. Следовательно:

$\angle DBE = \angle EBC$ (3)

4. Теперь сопоставим полученные равенства. Из равенства (3) мы знаем, что левые части равенств (1) и (2) равны между собой ($\angle EBC = \angle DBE$). Это означает, что и их правые части также должны быть равны:

$\angle BCA = \angle BAC$

5. Мы получили, что в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AB = BC$.

Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как биссектриса внешнего угла $BE$ параллельна стороне $AC$, то образуются равные накрест лежащие углы ($\angle EBC = \angle BCA$) и равные соответственные углы ($\angle DBE = \angle BAC$). Поскольку $BE$ — биссектриса, то $\angle DBE = \angle EBC$, из чего следует, что $\angle BCA = \angle BAC$. А треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным.