Номер 240, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 240, страница 71.

240 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Боковые стороны также равны: $AB = BC$.

Обозначим величину равных углов при основании как $\alpha$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

По условию задачи, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Это означает, что он делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle CAD = \angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому эти углы являются смежными. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. $\angle ADC + \angle ADB = 180^\circ$

Нам дано, что $\angle ADB = 110^\circ$. Используя это, найдем величину угла $\angle ADC$: $\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ADC$ это записывается как: $\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

Подставим в это равенство известные нам значения и выражения через $\alpha$: $\frac{\alpha}{2} + \alpha + 70^\circ = 180^\circ$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $\alpha$: $\frac{3\alpha}{2} = 180^\circ - 70^\circ$ $\frac{3\alpha}{2} = 110^\circ$ $3\alpha = 110^\circ \cdot 2$ $3\alpha = 220^\circ$ $\alpha = \frac{220^\circ}{3} = 73\frac{1}{3}^\circ$

Мы нашли углы при основании треугольника $ABC$: $\angle BAC = \alpha = 73\frac{1}{3}^\circ$ $\angle BCA = \alpha = 73\frac{1}{3}^\circ$

Осталось найти третий угол, $\angle ABC$. Используем свойство о сумме углов в треугольнике $ABC$: $\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$ $\angle ABC + \alpha + \alpha = 180^\circ$ $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$

Подставляем найденное значение $\alpha$: $\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot \frac{220^\circ}{3} = 180^\circ - \frac{440^\circ}{3} = \frac{540^\circ}{3} - \frac{440^\circ}{3} = \frac{100^\circ}{3} = 33\frac{1}{3}^\circ$

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $\angle A = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle C = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle B = 33\frac{1}{3}^\circ$.