Номер 237, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники - номер 237, страница 71.

Условие.

237 Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для проверки данного утверждения рассмотрим произвольный равнобедренный треугольник.

Пусть в равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ боковые стороны равны ($AB=AC$), а $BC$ — основание. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим их величину как $\beta$: $\angle B = \angle C = \beta$. Угол при вершине $A$ обозначим как $\alpha$.

Рассмотрим внешний угол треугольника при вершине $A$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для внешнего угла при вершине $A$ такими углами являются углы при основании $\angle B$ и $\angle C$.

Таким образом, величина внешнего угла при вершине $A$ составляет:
$Внешний \ \angle A = \angle B + \angle C = \beta + \beta = 2\beta$.

Утверждение гласит, что "один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом".

Мы нашли такой внешний угол — это угол при вершине $A$, его величина равна $2\beta$.
Мы также нашли угол, не смежный с ним — это угол при основании $\angle B$ (или $\angle C$), его величина равна $\beta$.
Сравнивая их, получаем $2\beta = 2 \times \beta$. Это означает, что внешний угол при вершине $A$ ровно в два раза больше угла при основании $\beta$.

Поскольку это соотношение выполняется для любого равнобедренного треугольника, исходное утверждение является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.