Номер 236, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 236, страница 71.

236 Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

По условию, в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, то есть $AM = \frac{1}{2} BC$.

Так как $AM$ является медианой, точка $M$ — это середина стороны $BC$. Отсюда следует, что $BM = MC = \frac{1}{2} BC$.

Таким образом, мы имеем равенство трех отрезков: $AM = BM = MC$. Это означает, что медиана $AM$ делит исходный треугольник $ABC$ на два равнобедренных треугольника: $\triangle ABM$ (поскольку $AM = BM$) и $\triangle ACM$ (поскольку $AM = MC$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому:
- в $\triangle ABM$ имеем $\angle BAM = \angle ABM$ (то есть $\angle B$);
- в $\triangle ACM$ имеем $\angle CAM = \angle ACM$ (то есть $\angle C$).

Угол $\angle BAC$ исходного треугольника является суммой углов $\angle BAM$ и $\angle CAM$. Следовательно, $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = \angle B + \angle C$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^\circ$: $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим в это уравнение выражение для $\angle BAC$, полученное ранее: $(\angle B + \angle C) + (\angle B + \angle C) = 180^\circ$
$2(\angle B + \angle C) = 180^\circ$
$\angle B + \angle C = 90^\circ$.

Поскольку $\angle BAC$ равен сумме углов $\angle B$ и $\angle C$, то $\angle BAC = 90^\circ$.

Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$, является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что угол $\angle BAC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным.