Номер 238, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 238, страница 71.

238 Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Продолжим сторону $AB$ за вершину $B$ и получим луч $BD$. Угол $\angle DBC$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $B$.

По теореме о внешнем угле треугольника, величина внешнего угла равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$\angle DBC = \angle BAC + \angle BCA$

Поскольку в нашем равнобедренном треугольнике $\angle BAC = \angle BCA$, мы можем записать:
$\angle DBC = 2 \cdot \angle BCA$

Проведем биссектрису $BE$ внешнего угла $\angle DBC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle DBC$

Подставив в это равенство выражение для $\angle DBC$, получим:
$\angle EBC = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle BCA) = \angle BCA$

Теперь рассмотрим прямые $BE$ и $AC$ и секущую $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими углами. Так как мы доказали, что эти углы равны ($\angle EBC = \angle BCA$), то по признаку параллельности прямых, прямая $BE$ параллельна прямой $AC$.

Таким образом, доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектриса $BE$ внешнего угла $\angle DBC$ и основание $AC$ образуют равные накрест лежащие углы ($\angle EBC = \angle BCA$) с секущей $BC$, следовательно, прямая $BE$ параллельна основанию $AC$.