Номер 238, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники - номер 238, страница 71.

Условие.

238 Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Продолжим сторону $AB$ за вершину $B$ и получим луч $BD$. Угол $\angle DBC$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $B$.

По теореме о внешнем угле треугольника, величина внешнего угла равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
$\angle DBC = \angle BAC + \angle BCA$

Поскольку в нашем равнобедренном треугольнике $\angle BAC = \angle BCA$, мы можем записать:
$\angle DBC = 2 \cdot \angle BCA$

Проведем биссектрису $BE$ внешнего угла $\angle DBC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle DBC$

Подставив в это равенство выражение для $\angle DBC$, получим:
$\angle EBC = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle BCA) = \angle BCA$

Теперь рассмотрим прямые $BE$ и $AC$ и секущую $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими углами. Так как мы доказали, что эти углы равны ($\angle EBC = \angle BCA$), то по признаку параллельности прямых, прямая $BE$ параллельна прямой $AC$.

Таким образом, доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектриса $BE$ внешнего угла $\angle DBC$ и основание $AC$ образуют равные накрест лежащие углы ($\angle EBC = \angle BCA$) с секущей $BC$, следовательно, прямая $BE$ параллельна основанию $AC$.