Номер 233, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Сумма углов треугольника. 32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 233, страница 71.

233 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.

В равнобедренном треугольнике по определению две стороны равны, а углы при основании (третьей стороне) равны между собой. Сумма всех углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

а)

Пусть один из углов равнобедренного треугольника равен $40^\circ$. Необходимо рассмотреть два возможных случая, так как этот угол может быть либо углом при вершине, либо углом при основании.

Случай 1: Данный угол является углом при вершине.
Если угол при вершине равен $40^\circ$, то сумма двух других углов (углов при основании) составляет $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
Поскольку углы при основании равны, то каждый из них равен $140^\circ / 2 = 70^\circ$.
В этом случае углы треугольника равны $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

Случай 2: Данный угол является углом при основании.
Если угол при основании равен $40^\circ$, то и второй угол при основании также равен $40^\circ$.
Тогда третий угол (угол при вершине) равен $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
В этом случае углы треугольника равны $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ или $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.

б)

Пусть один из углов равнобедренного треугольника равен $60^\circ$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Данный угол является углом при вершине.
Если угол при вершине равен $60^\circ$, то на два равных угла при основании приходится $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, каждый из углов при основании равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Все углы треугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

Случай 2: Данный угол является углом при основании.
Если угол при основании равен $60^\circ$, то и второй угол при основании равен $60^\circ$.
Тогда угол при вершине равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Все углы треугольника также равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

В обоих случаях мы получаем равносторонний треугольник, который является частным случаем равнобедренного.

Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

в)

Пусть один из углов равнобедренного треугольника равен $100^\circ$.

Рассмотрим случай, когда этот угол является углом при основании. Тогда второй угол при основании также должен быть равен $100^\circ$. Сумма этих двух углов составит $100^\circ + 100^\circ = 200^\circ$. Это невозможно, так как сумма всех трех углов треугольника должна быть равна $180^\circ$. Следовательно, угол в $100^\circ$ не может быть углом при основании.

Таким образом, данный угол может быть только углом при вершине.
Если угол при вершине равен $100^\circ$, то сумма двух равных углов при основании равна $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Следовательно, каждый из углов при основании равен $80^\circ / 2 = 40^\circ$.
Углы треугольника равны $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.

Ответ: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.