Номер 226, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 226, страница 68.

226 Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом, основанным на свойствах параллелограмма и векторах.

1. Обозначим середину стороны $AC$ точкой $K$. По условию задачи, точка $K$ также является серединой отрезка $BM$. Рассмотрим четырехугольник $ABCM$. Его диагонали $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$, которая является серединой каждой из них. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $ABCM$ является параллелограммом. Из этого следует, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это можно записать как $\vec{AM} = \vec{BC}$.

2. Обозначим середину стороны $AB$ точкой $L$. По условию, точка $L$ также является серединой отрезка $CN$. Рассмотрим четырехугольник $ACBN$. Его диагонали $AB$ и $CN$ пересекаются в точке $L$ и делятся ею пополам. Аналогично первому пункту, это означает, что четырехугольник $ACBN$ — параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны также параллельны и равны, что в векторной форме дает нам равенство $\vec{AN} = \vec{CB}$.

3. Теперь сопоставим полученные векторные равенства: $\vec{AM} = \vec{BC}$ и $\vec{AN} = \vec{CB}$. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$ имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что они являются противоположными векторами, и мы можем записать: $\vec{CB} = -\vec{BC}$.

Подставим это выражение в равенство из пункта 2: $\vec{AN} = -\vec{BC}$.

4. Теперь у нас есть два ключевых равенства:

• $\vec{AM} = \vec{BC}$
• $\vec{AN} = -\vec{BC}$

Из них напрямую следует, что $\vec{AN} = -\vec{AM}$.

Равенство $\vec{AN} = -\vec{AM}$ означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{AM}$ коллинеарны (то есть лежат на одной или на параллельных прямых), имеют равные модули (длины) и противоположно направлены. Поскольку оба эти вектора исходят из одной и той же точки $A$, точки $M$, $N$ и сама точка $A$ должны лежать на одной прямой. Более того, из этого равенства следует, что точка $A$ является серединой отрезка $MN$.

Таким образом, мы доказали, что точки $M$, $N$ и $A$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение о том, что точки $M$, $N$ и $A$ лежат на одной прямой, доказано.