Номер 223, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 223, страница 68.

223 Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.

Да, такую прямую провести можно. Для обоснования этого утверждения воспользуемся аксиомой параллельных прямых из евклидовой геометрии.

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $M$. Таким образом, точка $M$ является общей для обеих прямых.

Задача состоит в том, чтобы найти или доказать существование третьей прямой, назовем ее $c$, которая одновременно:

1. Пересекает прямую $a$.
2. Параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Чтобы построить такую прямую, выберем на прямой $a$ любую точку, не совпадающую с точкой пересечения $M$. Назовем эту точку $N$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ имеют только одну общую точку $M$, то точка $N$, принадлежащая прямой $a$, не лежит на прямой $b$.

Теперь мы имеем прямую $b$ и точку $N$, не лежащую на этой прямой. Согласно аксиоме о параллельных прямых (аксиоме Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Проведем через точку $N$ прямую $c$, параллельную прямой $b$. Такая прямая $c$ существует и единственна. Проверим, удовлетворяет ли она условиям задачи:

• Прямая $c$ параллельна прямой $b$ по построению.
• Прямая $c$ проходит через точку $N$. Так как точка $N$ также принадлежит прямой $a$, то прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $N$.

Оба условия выполнены. Следовательно, можно провести прямую, которая пересекает прямую $a$ и параллельна прямой $b$.

Ответ: Да, можно.