Номер 223, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых. Дополнительные задачи - номер 223, страница 68.

Условие.

223 Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Да, такую прямую провести можно. Для обоснования этого утверждения воспользуемся аксиомой параллельных прямых из евклидовой геометрии.

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $M$. Таким образом, точка $M$ является общей для обеих прямых.

Задача состоит в том, чтобы найти или доказать существование третьей прямой, назовем ее $c$, которая одновременно:

1. Пересекает прямую $a$.
2. Параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Чтобы построить такую прямую, выберем на прямой $a$ любую точку, не совпадающую с точкой пересечения $M$. Назовем эту точку $N$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ имеют только одну общую точку $M$, то точка $N$, принадлежащая прямой $a$, не лежит на прямой $b$.

Теперь мы имеем прямую $b$ и точку $N$, не лежащую на этой прямой. Согласно аксиоме о параллельных прямых (аксиоме Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Проведем через точку $N$ прямую $c$, параллельную прямой $b$. Такая прямая $c$ существует и единственна. Проверим, удовлетворяет ли она условиям задачи:

• Прямая $c$ параллельна прямой $b$ по построению.
• Прямая $c$ проходит через точку $N$. Так как точка $N$ также принадлежит прямой $a$, то прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $N$.

Оба условия выполнены. Следовательно, можно провести прямую, которая пересекает прямую $a$ и параллельна прямой $b$.

Ответ: Да, можно.