Номер 17, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых. Вопросы для повторения к главе 3 - номер 17, страница 68.

Условие.

17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Формулировка теоремы

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет 180 градусов.

Более точно:

• Если оба угла острые или оба тупые, то они равны.
• Если один угол острый, а другой тупой, то их сумма равна $180^\circ$.

Доказательство

Пусть даны два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. Стороны угла $\angle 1$ лежат на прямых $a$ и $b$, а стороны угла $\angle 2$ — на прямых $a_1$ и $b_1$. По условию, $a \perp a_1$ и $b \perp b_1$.
Докажем, что $\angle 1 = \angle 2$ или $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Совместим вершины углов с помощью параллельного переноса, так как при этом величина углов не изменяется, а перпендикулярность соответствующих сторон сохраняется. Пусть оба угла имеют общую вершину $O$. Обозначим первый угол как $\angle AOB = \alpha$, а второй — как $\angle A_1OB_1 = \beta$. По условию $OA \perp OA_1$ и $OB \perp OB_1$. Это означает, что угол между прямыми, содержащими лучи $OA$ и $OA_1$, равен $90^\circ$, и угол между прямыми, содержащими лучи $OB$ и $OB_1$, также равен $90^\circ$.

Рассмотрим два основных случая.

1. Углы одного вида (оба острые или оба тупые)

Сначала пусть оба угла $\alpha$ и $\beta$ — острые. Можно расположить лучи так, чтобы луч $OB$ оказался внутри угла $\angle AOA_1$. Тогда:
$\angle AOA_1 = \angle AOB + \angle BOA_1$
$90^\circ = \alpha + \angle BOA_1$, откуда следует $\angle BOA_1 = 90^\circ - \alpha$.
Поскольку угол $\beta$ также острый, соответствующее расположение лучей предполагает, что луч $OA_1$ будет находиться внутри угла $\angle BOB_1$. Тогда:
$\angle BOB_1 = \angle BOA_1 + \angle A_1OB_1$
$90^\circ = \angle BOA_1 + \beta$.
Подставим в последнее равенство выражение для $\angle BOA_1$:
$90^\circ = (90^\circ - \alpha) + \beta$
$0 = -\alpha + \beta$, что означает $\alpha = \beta$.

Теперь пусть оба угла $\alpha$ и $\beta$ — тупые. Рассмотрим смежные с ними углы $\alpha' = 180^\circ - \alpha$ и $\beta' = 180^\circ - \beta$. Оба эти угла будут острыми. Стороны угла $\alpha'$ соответственно перпендикулярны сторонам угла $\beta'$. (Действительно, если стороны $\alpha$ — лучи $OA, OB$, то стороны $\alpha'$ — это, например, лучи $-OA, OB$. Если стороны $\beta$ — лучи $OA_1, OB_1$, то стороны $\beta'$ — лучи $-OA_1, OB_1$. Так как $OA \perp OA_1$, то и $-OA \perp -OA_1$. А $OB \perp OB_1$ по условию).
Поскольку $\alpha'$ и $\beta'$ — два острых угла с взаимно перпендикулярными сторонами, по доказанному выше они равны: $\alpha' = \beta'$.
Следовательно, $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$, откуда $\alpha = \beta$.

2. Углы разного вида (один острый, а другой тупой)

Пусть угол $\alpha$ — острый, а угол $\beta$ — тупой.
Рассмотрим угол $\gamma$, смежный с углом $\beta$. Его величина $\gamma = 180^\circ - \beta$. Поскольку $\beta$ — тупой угол, $\gamma$ будет острым.
Стороны угла $\beta = \angle A_1OB_1$ — это лучи $OA_1$ и $OB_1$. Стороны смежного угла $\gamma$ — это луч $OB_1$ и луч $OA_2$, который является продолжением луча $OA_1$.
Сравним углы $\alpha = \angle AOB$ и $\gamma = \angle A_2OB_1$. Оба этих угла острые. Их стороны соответственно перпендикулярны: $OB \perp OB_1$ (по условию) и $OA \perp OA_2$ (так как $OA \perp OA_1$ и $OA_2$ лежит на той же прямой, что и $OA_1$).
Таким образом, $\alpha$ и $\gamma$ — это два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами. Согласно случаю 1, они равны: $\alpha = \gamma$.
Подставляя $\gamma = 180^\circ - \beta$, получаем $\alpha = 180^\circ - \beta$, что равносильно $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Теорема доказана.

Ответ: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны (если они одного вида — оба острые или оба тупые), либо их сумма составляет $180^\circ$ (если они разного вида — один острый, а другой тупой).