Номер 17, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 3. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 17, страница 68.

17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Формулировка теоремы

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет 180 градусов.

Более точно:

• Если оба угла острые или оба тупые, то они равны.
• Если один угол острый, а другой тупой, то их сумма равна $180^\circ$.

Доказательство

Пусть даны два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. Стороны угла $\angle 1$ лежат на прямых $a$ и $b$, а стороны угла $\angle 2$ — на прямых $a_1$ и $b_1$. По условию, $a \perp a_1$ и $b \perp b_1$.
Докажем, что $\angle 1 = \angle 2$ или $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Совместим вершины углов с помощью параллельного переноса, так как при этом величина углов не изменяется, а перпендикулярность соответствующих сторон сохраняется. Пусть оба угла имеют общую вершину $O$. Обозначим первый угол как $\angle AOB = \alpha$, а второй — как $\angle A_1OB_1 = \beta$. По условию $OA \perp OA_1$ и $OB \perp OB_1$. Это означает, что угол между прямыми, содержащими лучи $OA$ и $OA_1$, равен $90^\circ$, и угол между прямыми, содержащими лучи $OB$ и $OB_1$, также равен $90^\circ$.

Рассмотрим два основных случая.

1. Углы одного вида (оба острые или оба тупые)

Сначала пусть оба угла $\alpha$ и $\beta$ — острые. Можно расположить лучи так, чтобы луч $OB$ оказался внутри угла $\angle AOA_1$. Тогда:
$\angle AOA_1 = \angle AOB + \angle BOA_1$
$90^\circ = \alpha + \angle BOA_1$, откуда следует $\angle BOA_1 = 90^\circ - \alpha$.
Поскольку угол $\beta$ также острый, соответствующее расположение лучей предполагает, что луч $OA_1$ будет находиться внутри угла $\angle BOB_1$. Тогда:
$\angle BOB_1 = \angle BOA_1 + \angle A_1OB_1$
$90^\circ = \angle BOA_1 + \beta$.
Подставим в последнее равенство выражение для $\angle BOA_1$:
$90^\circ = (90^\circ - \alpha) + \beta$
$0 = -\alpha + \beta$, что означает $\alpha = \beta$.

Теперь пусть оба угла $\alpha$ и $\beta$ — тупые. Рассмотрим смежные с ними углы $\alpha' = 180^\circ - \alpha$ и $\beta' = 180^\circ - \beta$. Оба эти угла будут острыми. Стороны угла $\alpha'$ соответственно перпендикулярны сторонам угла $\beta'$. (Действительно, если стороны $\alpha$ — лучи $OA, OB$, то стороны $\alpha'$ — это, например, лучи $-OA, OB$. Если стороны $\beta$ — лучи $OA_1, OB_1$, то стороны $\beta'$ — лучи $-OA_1, OB_1$. Так как $OA \perp OA_1$, то и $-OA \perp -OA_1$. А $OB \perp OB_1$ по условию).
Поскольку $\alpha'$ и $\beta'$ — два острых угла с взаимно перпендикулярными сторонами, по доказанному выше они равны: $\alpha' = \beta'$.
Следовательно, $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$, откуда $\alpha = \beta$.

2. Углы разного вида (один острый, а другой тупой)

Пусть угол $\alpha$ — острый, а угол $\beta$ — тупой.
Рассмотрим угол $\gamma$, смежный с углом $\beta$. Его величина $\gamma = 180^\circ - \beta$. Поскольку $\beta$ — тупой угол, $\gamma$ будет острым.
Стороны угла $\beta = \angle A_1OB_1$ — это лучи $OA_1$ и $OB_1$. Стороны смежного угла $\gamma$ — это луч $OB_1$ и луч $OA_2$, который является продолжением луча $OA_1$.
Сравним углы $\alpha = \angle AOB$ и $\gamma = \angle A_2OB_1$. Оба этих угла острые. Их стороны соответственно перпендикулярны: $OB \perp OB_1$ (по условию) и $OA \perp OA_2$ (так как $OA \perp OA_1$ и $OA_2$ лежит на той же прямой, что и $OA_1$).
Таким образом, $\alpha$ и $\gamma$ — это два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами. Согласно случаю 1, они равны: $\alpha = \gamma$.
Подставляя $\gamma = 180^\circ - \beta$, получаем $\alpha = 180^\circ - \beta$, что равносильно $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Теорема доказана.

Ответ: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны (если они одного вида — оба острые или оба тупые), либо их сумма составляет $180^\circ$ (если они разного вида — один острый, а другой тупой).