Номер 218, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 218, страница 68.

218 На рисунке 128 CE=ED, BE=EF и KE || AF. Докажите, что KE || ВС.

Рассмотрим четырехугольник $BCFD$. По условию задачи, его диагонали $CD$ и $BF$ пересекаются в точке $E$. Также дано, что $CE = ED$ и $BE = EF$. Это означает, что точка пересечения диагоналей $E$ делит каждую из них пополам.

По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $BCFD$ — параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является то, что его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, сторона $BC$ параллельна стороне $DF$.

Из рисунка видно, что точки $A, D, F$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $DF$, совпадает с прямой, содержащей отрезок $AF$. Следовательно, если $BC \parallel DF$, то $BC \parallel AF$.

В условии задачи также сказано, что $KE \parallel AF$.

Теперь мы имеем два факта:

1. $BC \parallel AF$ (как доказано выше)
2. $KE \parallel AF$ (по условию)

Согласно свойству транзитивности для параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), из этих двух утверждений следует, что $KE \parallel BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $BCFD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AF$. По условию $KE \parallel AF$, следовательно, $KE \parallel BC$.