Номер 225, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 225, страница 68.

225 Докажите, что если при пересечении двух прямых a и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются.

Для доказательства используем метод от противного.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, которая их пересекает. Обозначим образовавшиеся при этом накрест лежащие углы как $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию задачи, эти углы не равны, то есть $\angle 1 \neq \angle 2$. Нам нужно доказать, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Предположим обратное: пусть прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, наше предположение равносильно тому, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Теперь рассмотрим следствие из нашего предположения. Согласно свойству параллельных прямых, если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Так как мы предположили, что $a \parallel b$, то должно выполняться равенство $\angle 1 = \angle 2$.

Однако это заключение ($\angle 1 = \angle 2$) прямо противоречит условию задачи, согласно которому $\angle 1 \neq \angle 2$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными, а значит, они должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано. Что и требовалось доказать.