Страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

16 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Формулировка теоремы

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

Уточнение:

• Два угла с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
• Сумма двух углов с соответственно параллельными сторонами равна $180^\circ$, если один из них острый, а другой — тупой.

Доказательство

Пусть даны два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$, стороны которых соответственно параллельны. Для доказательства рассмотрим два возможных случая, основанных на взаимном направлении лучей, образующих углы.

Случай 1: Стороны углов соответственно сонаправлены.

Пусть $\angle AOB$ (угол 1) и $\angle A_1O_1B_1$ (угол 2) таковы, что их стороны соответственно сонаправлены, то есть луч $OA$ сонаправлен с лучом $O_1A_1$ ($OA \uparrow\uparrow O_1A_1$), а луч $OB$ сонаправлен с лучом $O_1B_1$ ($OB \uparrow\uparrow O_1B_1$).

Продолжим луч $O_1A_1$ до пересечения со стороной $OB$ угла $\angle AOB$. Обозначим точку пересечения как $C$.

1. Так как $OA \parallel O_1C$ (по условию $OA \parallel O_1A_1$) и прямая $OB$ является их секущей, то соответственные углы равны: $\angle AOB = \angle A_1CB$.
2. Так как $OB \parallel O_1B_1$ (а значит, и $CB \parallel O_1B_1$) и прямая $O_1A_1$ является их секущей, то соответственные углы также равны: $\angle A_1CB = \angle A_1O_1B_1$.
3. Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, по свойству транзитивности следует, что $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.

Если стороны углов соответственно противонаправлены ($OA \uparrow\downarrow O_1A_1$ и $OB \uparrow\downarrow O_1B_1$), то $\angle A_1O_1B_1$ будет равен углу, вертикальному к нему. У этого вертикального угла стороны будут сонаправлены сторонам $\angle AOB$, и, следовательно, по доказанному выше, он будет равен $\angle AOB$. Значит, и в этом случае $\angle A_1O_1B_1 = \angle AOB$.

Случай 2: Одна пара сторон сонаправлена, а другая — противонаправлена.

Пусть луч $OA$ сонаправлен лучу $O_1A_1$ ($OA \uparrow\uparrow O_1A_1$), а луч $OB$ противонаправлен лучу $O_1B_1$ ($OB \uparrow\downarrow O_1B_1$).

1. Построим луч $O_1B_2$, дополнительный к лучу $O_1B_1$. Тогда луч $O_1B_2$ будет сонаправлен лучу $OB$.
2. Рассмотрим углы $\angle AOB$ и $\angle A_1O_1B_2$. Их стороны соответственно сонаправлены ($OA \uparrow\uparrow O_1A_1$ и $OB \uparrow\uparrow O_1B_2$). Согласно доказанному в Случае 1, эти углы равны: $\angle AOB = \angle A_1O_1B_2$.
3. Углы $\angle A_1O_1B_1$ и $\angle A_1O_1B_2$ являются смежными, так как лучи $O_1B_1$ и $O_1B_2$ лежат на одной прямой и выходят из одной точки. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A_1O_1B_1 + \angle A_1O_1B_2 = 180^\circ$.
4. Подставим в последнее равенство $\angle AOB$ вместо равного ему угла $\angle A_1O_1B_2$. Получим: $\angle A_1O_1B_1 + \angle AOB = 180^\circ$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и доказали теорему.

Ответ: Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо в сумме дают $180^\circ$.

17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Формулировка теоремы

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет 180 градусов.

Более точно:

• Если оба угла острые или оба тупые, то они равны.
• Если один угол острый, а другой тупой, то их сумма равна $180^\circ$.

Доказательство

Пусть даны два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. Стороны угла $\angle 1$ лежат на прямых $a$ и $b$, а стороны угла $\angle 2$ — на прямых $a_1$ и $b_1$. По условию, $a \perp a_1$ и $b \perp b_1$.
Докажем, что $\angle 1 = \angle 2$ или $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Совместим вершины углов с помощью параллельного переноса, так как при этом величина углов не изменяется, а перпендикулярность соответствующих сторон сохраняется. Пусть оба угла имеют общую вершину $O$. Обозначим первый угол как $\angle AOB = \alpha$, а второй — как $\angle A_1OB_1 = \beta$. По условию $OA \perp OA_1$ и $OB \perp OB_1$. Это означает, что угол между прямыми, содержащими лучи $OA$ и $OA_1$, равен $90^\circ$, и угол между прямыми, содержащими лучи $OB$ и $OB_1$, также равен $90^\circ$.

Рассмотрим два основных случая.

1. Углы одного вида (оба острые или оба тупые)

Сначала пусть оба угла $\alpha$ и $\beta$ — острые. Можно расположить лучи так, чтобы луч $OB$ оказался внутри угла $\angle AOA_1$. Тогда:
$\angle AOA_1 = \angle AOB + \angle BOA_1$
$90^\circ = \alpha + \angle BOA_1$, откуда следует $\angle BOA_1 = 90^\circ - \alpha$.
Поскольку угол $\beta$ также острый, соответствующее расположение лучей предполагает, что луч $OA_1$ будет находиться внутри угла $\angle BOB_1$. Тогда:
$\angle BOB_1 = \angle BOA_1 + \angle A_1OB_1$
$90^\circ = \angle BOA_1 + \beta$.
Подставим в последнее равенство выражение для $\angle BOA_1$:
$90^\circ = (90^\circ - \alpha) + \beta$
$0 = -\alpha + \beta$, что означает $\alpha = \beta$.

Теперь пусть оба угла $\alpha$ и $\beta$ — тупые. Рассмотрим смежные с ними углы $\alpha' = 180^\circ - \alpha$ и $\beta' = 180^\circ - \beta$. Оба эти угла будут острыми. Стороны угла $\alpha'$ соответственно перпендикулярны сторонам угла $\beta'$. (Действительно, если стороны $\alpha$ — лучи $OA, OB$, то стороны $\alpha'$ — это, например, лучи $-OA, OB$. Если стороны $\beta$ — лучи $OA_1, OB_1$, то стороны $\beta'$ — лучи $-OA_1, OB_1$. Так как $OA \perp OA_1$, то и $-OA \perp -OA_1$. А $OB \perp OB_1$ по условию).
Поскольку $\alpha'$ и $\beta'$ — два острых угла с взаимно перпендикулярными сторонами, по доказанному выше они равны: $\alpha' = \beta'$.
Следовательно, $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$, откуда $\alpha = \beta$.

2. Углы разного вида (один острый, а другой тупой)

Пусть угол $\alpha$ — острый, а угол $\beta$ — тупой.
Рассмотрим угол $\gamma$, смежный с углом $\beta$. Его величина $\gamma = 180^\circ - \beta$. Поскольку $\beta$ — тупой угол, $\gamma$ будет острым.
Стороны угла $\beta = \angle A_1OB_1$ — это лучи $OA_1$ и $OB_1$. Стороны смежного угла $\gamma$ — это луч $OB_1$ и луч $OA_2$, который является продолжением луча $OA_1$.
Сравним углы $\alpha = \angle AOB$ и $\gamma = \angle A_2OB_1$. Оба этих угла острые. Их стороны соответственно перпендикулярны: $OB \perp OB_1$ (по условию) и $OA \perp OA_2$ (так как $OA \perp OA_1$ и $OA_2$ лежит на той же прямой, что и $OA_1$).
Таким образом, $\alpha$ и $\gamma$ — это два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами. Согласно случаю 1, они равны: $\alpha = \gamma$.
Подставляя $\gamma = 180^\circ - \beta$, получаем $\alpha = 180^\circ - \beta$, что равносильно $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Теорема доказана.

Ответ: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны (если они одного вида — оба острые или оба тупые), либо их сумма составляет $180^\circ$ (если они разного вида — один острый, а другой тупой).

218 На рисунке 128 CE=ED, BE=EF и KE || AF. Докажите, что KE || ВС.

Рассмотрим четырехугольник $BCFD$. По условию задачи, его диагонали $CD$ и $BF$ пересекаются в точке $E$. Также дано, что $CE = ED$ и $BE = EF$. Это означает, что точка пересечения диагоналей $E$ делит каждую из них пополам.

По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $BCFD$ — параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является то, что его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, сторона $BC$ параллельна стороне $DF$.

Из рисунка видно, что точки $A, D, F$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $DF$, совпадает с прямой, содержащей отрезок $AF$. Следовательно, если $BC \parallel DF$, то $BC \parallel AF$.

В условии задачи также сказано, что $KE \parallel AF$.

Теперь мы имеем два факта:

1. $BC \parallel AF$ (как доказано выше)
2. $KE \parallel AF$ (по условию)

Согласно свойству транзитивности для параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), из этих двух утверждений следует, что $KE \parallel BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $BCFD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AF$. По условию $KE \parallel AF$, следовательно, $KE \parallel BC$.

219 Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || AB.

Пусть $K$ — середина биссектрисы $AD$. Прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно $AD$, пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Рассмотрим треугольник $\triangle AMD$.

В этом треугольнике отрезок $MK$ является высотой, так как по условию прямая $MK$ перпендикулярна стороне $AD$ ($MK \perp AD$).

Поскольку $K$ является серединой отрезка $AD$, то отрезок $MK$ также является медианой треугольника $\triangle AMD$, проведенной к стороне $AD$.

Треугольник, в котором высота, проведенная к одной из сторон, совпадает с медианой, проведенной к той же стороне, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AMD$ является равнобедренным треугольником с основанием $AD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда следует, что $\angle MAD = \angle MDA$.

По условию задачи, $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Это означает, что $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle MAD$. Таким образом, мы можем записать: $\angle BAD = \angle MAD$.

Из полученных равенств $\angle MAD = \angle MDA$ и $\angle BAD = \angle MAD$ следует, что $\angle BAD = \angle MDA$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $MD$ и секущую $AD$. Углы $\angle BAD$ и $\angle MDA$ являются накрест лежащими.

Так как накрест лежащие углы $\angle BAD$ и $\angle MDA$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $MD$ параллельна прямой $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: $MD \parallel AB$.

220 По данным рисунка 129, а) найдите угол 1.

a) Для решения задачи сначала определим, являются ли прямые $a$ и $b$ параллельными. Рассмотрим прямые $a$ и $b$ и секущую $c$. Углы, равные $65°$ и $115°$, являются внутренними односторонними углами. Найдем их сумму:

$65° + 115° = 180°$

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180°$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$) по признаку параллельности прямых.

Теперь рассмотрим треугольник, верхним углом которого является искомый угол 1. Два других угла этого треугольника лежат на прямой $a$. Назовем левый нижний угол треугольника – $?2$, а правый нижний – $?3$.

Из рисунка видно, что $?2 = 65°$.

Найдем угол $?3$. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$ и секущую $d$. Угол, смежный с углом $121°$ на прямой $b$, и угол $?3$ являются соответственными углами. Найдем величину угла, смежного с углом $121°$:

$180° - 121° = 59°$

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, соответственные углы при секущей $d$ равны. Следовательно, $?3 = 59°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Зная два угла треугольника ($?2$ и $?3$), мы можем найти угол 1:

$?1 + ?2 + ?3 = 180°$

$?1 + 65° + 59° = 180°$

$?1 + 124° = 180°$

$?1 = 180° - 124°$

$?1 = 56°$

Ответ: 56°.

221 На рисунке 129, б) DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE.

Для решения задачи сначала определим, параллельны ли прямые, на которых лежат отрезки $AE$ и $DF$.

Углы величиной $78^\circ$ и $102^\circ$ являются внутренними односторонними углами при пересечении двух прямых (содержащих $AE$ и $DF$) секущей (содержащей $AD$). Согласно свойству параллельных прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим это условие:

$78^\circ + 102^\circ = 180^\circ$

Так как сумма углов равна $180^\circ$, мы можем заключить, что прямая, содержащая отрезок $AE$, параллельна прямой, содержащей отрезок $DF$. Запишем это как $AE \parallel DF$.

Теперь найдем углы треугольника $ADE$.

1. Угол $ADE$

По данным рисунка, $\angle ADE = 48^\circ$.

2. Угол $DAE$

По условию, $DE$ — биссектриса угла $ADF$. Это означает, что она делит угол $ADF$ на два равных угла: $\angle ADE = \angle EDF = 48^\circ$.

Следовательно, весь угол $ADF$ равен сумме его частей:

$\angle ADF = \angle ADE + \angle EDF = 48^\circ + 48^\circ = 96^\circ$

Поскольку $AE \parallel DF$, углы $DAE$ и $ADF$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AD$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому:

$\angle DAE = \angle ADF = 96^\circ$

3. Угол $AED$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ADE$ мы знаем два угла: $\angle ADE = 48^\circ$ и $\angle DAE = 96^\circ$. Найдем третий угол:

$\angle AED = 180^\circ - (\angle ADE + \angle DAE) = 180^\circ - (48^\circ + 96^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Ответ: углы треугольника $ADE$ равны: $\angle ADE = 48^\circ$, $\angle DAE = 96^\circ$, $\angle AED = 36^\circ$.

222 Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.

Дано:
Прямые $a, b, c$.
$a \parallel c$
$b \parallel c$
Существует прямая $d$, которая пересекает прямую $a$.

Доказать:
Прямая $d$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:
1. Согласно теореме о трех параллельных прямых (или свойству транзитивности параллельности), если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Так как по условию задачи $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то отсюда следует, что $a \parallel b$.

2. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $d$, пересекающая прямую $a$, не пересекает прямую $b$. Если две прямые на плоскости не пересекаются, значит, они параллельны. Таким образом, наше предположение равносильно утверждению, что $d \parallel b$.

3. По условию, прямая $d$ пересекает прямую $a$. Назовем точку их пересечения $M$. Следовательно, точка $M$ принадлежит одновременно и прямой $a$, и прямой $d$.

4. Сопоставим факты: у нас есть точка $M$, через которую проходят две различные прямые, $a$ и $d$. При этом, как мы установили, $a \parallel b$ (из пункта 1), и по нашему предположению, $d \parallel b$ (из пункта 2).

5. Мы пришли к ситуации, когда через точку $M$, не лежащую на прямой $b$ (поскольку $a \parallel b$), проходят две разные прямые ($a$ и $d$), параллельные одной и той же прямой $b$. Это является прямым противоречием аксиоме параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

6. Возникшее противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, прямая $d$ не может быть параллельна прямой $b$. А так как прямые $d$ и $b$ лежат в одной плоскости, то они должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано. Любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает также и прямую $b$.

223 Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.

Да, такую прямую провести можно. Для обоснования этого утверждения воспользуемся аксиомой параллельных прямых из евклидовой геометрии.

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $M$. Таким образом, точка $M$ является общей для обеих прямых.

Задача состоит в том, чтобы найти или доказать существование третьей прямой, назовем ее $c$, которая одновременно:

1. Пересекает прямую $a$.
2. Параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Чтобы построить такую прямую, выберем на прямой $a$ любую точку, не совпадающую с точкой пересечения $M$. Назовем эту точку $N$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ имеют только одну общую точку $M$, то точка $N$, принадлежащая прямой $a$, не лежит на прямой $b$.

Теперь мы имеем прямую $b$ и точку $N$, не лежащую на этой прямой. Согласно аксиоме о параллельных прямых (аксиоме Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Проведем через точку $N$ прямую $c$, параллельную прямой $b$. Такая прямая $c$ существует и единственна. Проверим, удовлетворяет ли она условиям задачи:

• Прямая $c$ параллельна прямой $b$ по построению.
• Прямая $c$ проходит через точку $N$. Так как точка $N$ также принадлежит прямой $a$, то прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $N$.

Оба условия выполнены. Следовательно, можно провести прямую, которая пересекает прямую $a$ и параллельна прямой $b$.

Ответ: Да, можно.

224* Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, не параллельны, то они пересекаются. Обозначим точку их пересечения как $M$. Таким образом, $a \cap b = \{M\}$.

Теперь выберем на прямой $a$ любую точку $A$, которая не совпадает с точкой $M$ (то есть $A \in a$ и $A \neq M$). Согласно аксиоме параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. В нашем случае через точку $A$ (которая не лежит на прямой $b$, так как $A \neq M$) можно провести прямую $c$, параллельную прямой $b$.

Проанализируем свойства построенной нами прямой $c$. По построению, прямая $c$ проходит через точку $A$, которая принадлежит прямой $a$, следовательно, прямая $c$ пересекает прямую $a$. В то же время, прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$), а значит, не пересекает ее.

Таким образом, мы нашли прямую $c$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$. Это напрямую противоречит условию задачи, в котором говорится, что любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Ответ: Утверждение доказано.

225 Докажите, что если при пересечении двух прямых a и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются.

Для доказательства используем метод от противного.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, которая их пересекает. Обозначим образовавшиеся при этом накрест лежащие углы как $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию задачи, эти углы не равны, то есть $\angle 1 \neq \angle 2$. Нам нужно доказать, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Предположим обратное: пусть прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, наше предположение равносильно тому, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Теперь рассмотрим следствие из нашего предположения. Согласно свойству параллельных прямых, если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Так как мы предположили, что $a \parallel b$, то должно выполняться равенство $\angle 1 = \angle 2$.

Однако это заключение ($\angle 1 = \angle 2$) прямо противоречит условию задачи, согласно которому $\angle 1 \neq \angle 2$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными, а значит, они должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано. Что и требовалось доказать.

226 Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом, основанным на свойствах параллелограмма и векторах.

1. Обозначим середину стороны $AC$ точкой $K$. По условию задачи, точка $K$ также является серединой отрезка $BM$. Рассмотрим четырехугольник $ABCM$. Его диагонали $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$, которая является серединой каждой из них. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $ABCM$ является параллелограммом. Из этого следует, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это можно записать как $\vec{AM} = \vec{BC}$.

2. Обозначим середину стороны $AB$ точкой $L$. По условию, точка $L$ также является серединой отрезка $CN$. Рассмотрим четырехугольник $ACBN$. Его диагонали $AB$ и $CN$ пересекаются в точке $L$ и делятся ею пополам. Аналогично первому пункту, это означает, что четырехугольник $ACBN$ — параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны также параллельны и равны, что в векторной форме дает нам равенство $\vec{AN} = \vec{CB}$.

3. Теперь сопоставим полученные векторные равенства: $\vec{AM} = \vec{BC}$ и $\vec{AN} = \vec{CB}$. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$ имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что они являются противоположными векторами, и мы можем записать: $\vec{CB} = -\vec{BC}$.

Подставим это выражение в равенство из пункта 2: $\vec{AN} = -\vec{BC}$.

4. Теперь у нас есть два ключевых равенства:

• $\vec{AM} = \vec{BC}$
• $\vec{AN} = -\vec{BC}$

Из них напрямую следует, что $\vec{AN} = -\vec{AM}$.

Равенство $\vec{AN} = -\vec{AM}$ означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{AM}$ коллинеарны (то есть лежат на одной или на параллельных прямых), имеют равные модули (длины) и противоположно направлены. Поскольку оба эти вектора исходят из одной и той же точки $A$, точки $M$, $N$ и сама точка $A$ должны лежать на одной прямой. Более того, из этого равенства следует, что точка $A$ является серединой отрезка $MN$.

Таким образом, мы доказали, что точки $M$, $N$ и $A$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение о том, что точки $M$, $N$ и $A$ лежат на одной прямой, доказано.

227 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку А проведите прямую, параллельную прямой а.

Для построения прямой, параллельной данной прямой $a$ и проходящей через точку $A$, не лежащую на ней, воспользуемся методом построения параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны параллельны.

Дано:

Прямая $a$ и точка $A$, такая что $A \notin a$.

Построить:

Прямую $b$, такую что $A \in b$ и $b \parallel a$.

Построение:

1. Через точку $A$ и любую точку на прямой $a$ (назовем ее $B$) проводим с помощью линейки вспомогательную прямую (секущую).
2. Выбираем на прямой $a$ еще одну произвольную точку $C$, не совпадающую с $B$.
3. С помощью циркуля измеряем расстояние $BC$. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом, равным $BC$.
4. С помощью циркуля измеряем расстояние $AB$. Устанавливаем острие циркуля в точку $C$ и проводим дугу окружности радиусом, равным $AB$.
5. Точку пересечения дуг, построенных в шагах 3 и 4, назовем $D$. Точка $D$ должна лежать с той же стороны от секущей $AB$, что и точка $C$.
6. С помощью линейки проводим прямую через точки $A$ и $D$. Обозначим эту прямую как $b$.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По построению мы имеем:

• Сторона $AD$ равна стороне $BC$ (по построению в шаге 3, $AD = BC$).
• Сторона $CD$ равна стороне $AB$ (по построению в шаге 4, $CD = AB$).

Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Значит, $AD \parallel BC$.

Поскольку точки $B$ и $C$ лежат на прямой $a$, то прямая, проходящая через них, совпадает с прямой $a$. Таким образом, прямая, проходящая через точки $A$ и $D$ (прямая $b$), параллельна прямой $a$.

Ответ: Прямая $b$, построенная согласно приведенному алгоритму, является искомой, так как она проходит через точку $A$ и параллельна прямой $a$.