Страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

201 Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне AB, можно провести через вершину С?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к одной из основных аксиом евклидовой геометрии — аксиоме о параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида).

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Рассмотрим эту аксиому в контексте нашей задачи:

• Данная прямая — это прямая, на которой лежит сторона $AB$ треугольника $ABC$.
• Точка, не лежащая на данной прямой — это вершина $C$. По определению треугольника, три его вершины не могут лежать на одной прямой, следовательно, точка $C$ не принадлежит прямой $AB$.

Так как у нас есть прямая ($AB$) и точка ($C$), которая на ней не лежит, мы можем применить указанную аксиому. Она утверждает, что существует одна и только одна прямая, проходящая через точку $C$ и параллельная прямой $AB$.

Ответ: 1

202 Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.

Пусть дана прямая $p$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой ($A \notin p$). Через точку $A$ проведены четыре различные прямые. Нам нужно определить, сколько из этих четырех прямых пересекают прямую $p$.

Ключевым для решения этой задачи является постулат о параллельных прямых (или пятый постулат Евклида), который гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.

Это означает, что через нашу точку $A$ существует только одна прямая, которая будет параллельна прямой $p$. Все остальные прямые, проходящие через точку $A$, будут пересекать прямую $p$.

Исходя из этого, рассмотрим все возможные случаи.

В этой ситуации одна из четырех прямых, проходящих через точку $A$, совпадает с той единственной прямой, которая параллельна $p$. Эта прямая не пересечет $p$. Остальные три прямые, также проходящие через $A$, не параллельны $p$ (поскольку прямая, параллельная $p$ через точку $A$, единственна, а все четыре проведенные прямые различны). Следовательно, эти три прямые пересекут прямую $p$.

Ответ: 3 прямые.

В этом случае ни одна из четырех прямых, проходящих через точку $A$, не является параллельной прямой $p$. Так как каждая из них проходит через точку $A$, не лежащую на прямой $p$, и не параллельна $p$, то каждая из них обязательно пересечет прямую $p$. Таким образом, все четыре прямые пересекут $p$.

Ответ: 4 прямые.

203 Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая, так как в условии не уточнено, лежат ли прямые в одной плоскости или в пространстве.

Случай 1: Все прямые лежат в одной плоскости (планиметрия)

По условию, прямые a и b перпендикулярны одной и той же прямой p. В виде формул это записывается как $a \perp p$ и $b \perp p$.

Согласно теореме планиметрии, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $a \parallel b$.

Далее, по условию, прямая c пересекает прямую a. Это означает, что у них есть по крайней мере одна общая точка. Здесь возможны два сценария:

1. Прямая c пересекает прямую a в одной-единственной точке (т.е. является секущей). По свойству параллельных прямых, если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она обязательно пересекает и вторую. Таким образом, в этом сценарии прямая c пересечет прямую b.

2. Прямая c совпадает с прямой a ($c \equiv a$). В этом случае они тоже формально пересекаются (имеют бесконечное множество общих точек). Но поскольку $a \parallel b$, то из этого следует, что и $c \parallel b$. Параллельные прямые по определению не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Следовательно, в этом сценарии прямая c не пересекает прямую b.

Поскольку существует как минимум один возможный случай, когда прямая c не пересекает прямую b, мы не можем дать однозначный утвердительный ответ для случая на плоскости.

Случай 2: Прямые расположены в пространстве (стереометрия)

В трехмерном пространстве из того, что $a \perp p$ и $b \perp p$, не следует, что прямые a и b параллельны. Они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Приведем конкретный пример, чтобы показать, что прямая c не обязана пересекать прямую b. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz.

Пусть прямая p совпадает с осью Oz.
Пусть прямая a совпадает с осью Ox. Она перпендикулярна оси Oz ($a \perp p$).
Пусть прямая b совпадает с осью Oy. Она также перпендикулярна оси Oz ($b \perp p$).
В данном примере прямые a и b перпендикулярны, но не параллельны, они пересекаются в начале координат (0, 0, 0).

Теперь зададим прямую c, которая пересекает прямую a (ось Ox). Пусть точка их пересечения — (2, 0, 0). Зададим прямую c как прямую, параллельную прямой p (оси Oz), проходящую через эту точку. Уравнения прямой c в этом случае будут $x=2, y=0$.

Проверим, пересекает ли прямая c прямую b (ось Oy). Уравнения оси Oy — это $x=0, z=0$. Для того чтобы прямые пересекались, у них должна быть общая точка. Однако для любой точки на прямой c координата $x$ равна 2, а для любой точки на прямой b координата $x$ равна 0. Так как $2 \neq 0$, у этих прямых нет общих точек, и они не пересекаются (являются скрещивающимися).

Этот пример доказывает, что в пространстве прямая c не обязательно пересекает прямую b.

Таким образом, и на плоскости, и в пространстве существуют ситуации, при которых прямая c не пересекает прямую b.

Ответ: Не обязательно. Прямая c может как пересекать, так и не пересекать прямую b в зависимости от их взаимного расположения.