Номер 203, страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 203, страница 65.

203 Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая, так как в условии не уточнено, лежат ли прямые в одной плоскости или в пространстве.

Случай 1: Все прямые лежат в одной плоскости (планиметрия)

По условию, прямые a и b перпендикулярны одной и той же прямой p. В виде формул это записывается как $a \perp p$ и $b \perp p$.

Согласно теореме планиметрии, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $a \parallel b$.

Далее, по условию, прямая c пересекает прямую a. Это означает, что у них есть по крайней мере одна общая точка. Здесь возможны два сценария:

1. Прямая c пересекает прямую a в одной-единственной точке (т.е. является секущей). По свойству параллельных прямых, если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она обязательно пересекает и вторую. Таким образом, в этом сценарии прямая c пересечет прямую b.

2. Прямая c совпадает с прямой a ($c \equiv a$). В этом случае они тоже формально пересекаются (имеют бесконечное множество общих точек). Но поскольку $a \parallel b$, то из этого следует, что и $c \parallel b$. Параллельные прямые по определению не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Следовательно, в этом сценарии прямая c не пересекает прямую b.

Поскольку существует как минимум один возможный случай, когда прямая c не пересекает прямую b, мы не можем дать однозначный утвердительный ответ для случая на плоскости.

Случай 2: Прямые расположены в пространстве (стереометрия)

В трехмерном пространстве из того, что $a \perp p$ и $b \perp p$, не следует, что прямые a и b параллельны. Они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Приведем конкретный пример, чтобы показать, что прямая c не обязана пересекать прямую b. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz.

Пусть прямая p совпадает с осью Oz.
Пусть прямая a совпадает с осью Ox. Она перпендикулярна оси Oz ($a \perp p$).
Пусть прямая b совпадает с осью Oy. Она также перпендикулярна оси Oz ($b \perp p$).
В данном примере прямые a и b перпендикулярны, но не параллельны, они пересекаются в начале координат (0, 0, 0).

Теперь зададим прямую c, которая пересекает прямую a (ось Ox). Пусть точка их пересечения — (2, 0, 0). Зададим прямую c как прямую, параллельную прямой p (оси Oz), проходящую через эту точку. Уравнения прямой c в этом случае будут $x=2, y=0$.

Проверим, пересекает ли прямая c прямую b (ось Oy). Уравнения оси Oy — это $x=0, z=0$. Для того чтобы прямые пересекались, у них должна быть общая точка. Однако для любой точки на прямой c координата $x$ равна 2, а для любой точки на прямой b координата $x$ равна 0. Так как $2 \neq 0$, у этих прямых нет общих точек, и они не пересекаются (являются скрещивающимися).

Этот пример доказывает, что в пространстве прямая c не обязательно пересекает прямую b.

Таким образом, и на плоскости, и в пространстве существуют ситуации, при которых прямая c не пересекает прямую b.

Ответ: Не обязательно. Прямая c может как пересекать, так и не пересекать прямую b в зависимости от их взаимного расположения.