Номер 205, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 205, страница 66.

205 На рисунке 123 AD || p и PQ || BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые AB, АЕ, АС, ВС и PQ.

Доказательство для каждой прямой основано на свойстве параллельных прямых: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Будем доказывать методом от противного.

AB. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $AB$ пересекает прямую $AD$ в точке $A$. Предположим, что прямая $p$ не пересекает прямую $AB$, то есть $p \parallel AB$. Тогда получается, что через точку $A$ проходят две различные прямые ($AD$ и $AB$), которые параллельны одной и той же прямой $p$. Это противоречит аксиоме параллельности Евклида. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $p$ должна пересекать прямую $AB$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AB$.

AE. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $AE$ пересекает прямую $AD$ в точке $A$. Предположим, что $p$ не пересекает $AE$, то есть $p \parallel AE$. Так как $AD \parallel p$ и $AE \parallel p$, то по свойству транзитивности должно выполняться $AD \parallel AE$. Но это противоречит тому, что прямые $AD$ и $AE$ пересекаются в точке $A$ (они являются различными, так как точки $D$ и $E$ различны). Значит, предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $AE$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AE$.

AC. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $AC$ пересекает прямую $AD$ в точке $A$. Предположим, что $p \parallel AC$. Тогда из $AD \parallel p$ и $AC \parallel p$ следует, что $AD \parallel AC$. Это противоречит тому, что прямые $AD$ и $AC$ пересекаются в точке $A$. Следовательно, предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $AC$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AC$.

BC. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $BC$ пересекает прямую $AD$ в точке $D$, так как по условию точка $D$ лежит на стороне $BC$. Предположим, что $p \parallel BC$. Тогда из $AD \parallel p$ и $BC \parallel p$ следует, что $AD \parallel BC$. Это противоречит тому, что прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. Следовательно, предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $BC$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $BC$.

PQ. По условию дано, что $AD \parallel p$ и $PQ \parallel BC$. Как мы установили в предыдущем пункте, прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $D$, а значит, они не параллельны ($AD \not\parallel BC$).
Предположим, что прямая $p$ не пересекает прямую $PQ$, то есть $p \parallel PQ$.
Используем свойство транзитивности для параллельных прямых:
1. Из $AD \parallel p$ (по условию) и $p \parallel PQ$ (наше предположение) следует, что $AD \parallel PQ$.
2. Из $AD \parallel PQ$ и $PQ \parallel BC$ (по условию) следует, что $AD \parallel BC$.
Полученное утверждение $AD \parallel BC$ противоречит тому факту, что эти прямые пересекаются. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $PQ$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $PQ$.