Страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

204 Прямая р параллельна стороне AB треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.

Данную задачу докажем методом от противного. Утверждение, которое нужно доказать, состоит из двух частей: 1) прямая $BC$ пересекает прямую $p$; 2) прямая $AC$ пересекает прямую $p$. Докажем последовательно обе части.

Доказательство для прямой BC

Предположим, что прямая $BC$ не пересекает прямую $p$. Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, наше предположение равносильно тому, что $BC \parallel p$.

По условию задачи прямая $p$ параллельна стороне $AB$ треугольника, то есть $p \parallel AB$.

Теперь у нас есть два утверждения: $BC \parallel p$ (наше предположение) и $p \parallel AB$ (условие). Согласно свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые по отдельности параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем заключить, что $BC \parallel AB$.

Однако прямые $BC$ и $AB$ являются сторонами треугольника $ABC$ и имеют общую вершину $B$, то есть они пересекаются в точке $B$. Это противоречит выводу о том, что они параллельны.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $BC$ должна пересекать прямую $p$.

Доказательство для прямой AC

Аналогичным образом докажем, что прямая $AC$ пересекает прямую $p$. Снова воспользуемся методом от противного и предположим, что прямая $AC$ не пересекает прямую $p$. Это значит, что $AC \parallel p$.

Из условия мы знаем, что $p \parallel AB$.

Имея $AC \parallel p$ и $p \parallel AB$, по свойству транзитивности параллельных прямых, получаем $AC \parallel AB$.

Но это утверждение вступает в противоречие с тем, что $AC$ и $AB$ — это стороны треугольника $ABC$, которые пересекаются в общей вершине $A$.

Противоречие доказывает, что наше предположение было ложным. Таким образом, прямая $AC$ пересекает прямую $p$.

Мы доказали, что обе прямые, $BC$ и $AC$, пересекают прямую $p$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

205 На рисунке 123 AD || p и PQ || BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые AB, АЕ, АС, ВС и PQ.

Доказательство для каждой прямой основано на свойстве параллельных прямых: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Будем доказывать методом от противного.

AB. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $AB$ пересекает прямую $AD$ в точке $A$. Предположим, что прямая $p$ не пересекает прямую $AB$, то есть $p \parallel AB$. Тогда получается, что через точку $A$ проходят две различные прямые ($AD$ и $AB$), которые параллельны одной и той же прямой $p$. Это противоречит аксиоме параллельности Евклида. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $p$ должна пересекать прямую $AB$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AB$.

AE. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $AE$ пересекает прямую $AD$ в точке $A$. Предположим, что $p$ не пересекает $AE$, то есть $p \parallel AE$. Так как $AD \parallel p$ и $AE \parallel p$, то по свойству транзитивности должно выполняться $AD \parallel AE$. Но это противоречит тому, что прямые $AD$ и $AE$ пересекаются в точке $A$ (они являются различными, так как точки $D$ и $E$ различны). Значит, предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $AE$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AE$.

AC. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $AC$ пересекает прямую $AD$ в точке $A$. Предположим, что $p \parallel AC$. Тогда из $AD \parallel p$ и $AC \parallel p$ следует, что $AD \parallel AC$. Это противоречит тому, что прямые $AD$ и $AC$ пересекаются в точке $A$. Следовательно, предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $AC$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $AC$.

BC. Дано, что $AD \parallel p$. Прямая $BC$ пересекает прямую $AD$ в точке $D$, так как по условию точка $D$ лежит на стороне $BC$. Предположим, что $p \parallel BC$. Тогда из $AD \parallel p$ и $BC \parallel p$ следует, что $AD \parallel BC$. Это противоречит тому, что прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. Следовательно, предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $BC$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $BC$.

PQ. По условию дано, что $AD \parallel p$ и $PQ \parallel BC$. Как мы установили в предыдущем пункте, прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $D$, а значит, они не параллельны ($AD \not\parallel BC$).
Предположим, что прямая $p$ не пересекает прямую $PQ$, то есть $p \parallel PQ$.
Используем свойство транзитивности для параллельных прямых:
1. Из $AD \parallel p$ (по условию) и $p \parallel PQ$ (наше предположение) следует, что $AD \parallel PQ$.
2. Из $AD \parallel PQ$ и $PQ \parallel BC$ (по условию) следует, что $AD \parallel BC$.
Полученное утверждение $AD \parallel BC$ противоречит тому факту, что эти прямые пересекаются. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $p$ пересекает прямую $PQ$.
Ответ: Доказано, что прямая $p$ пересекает прямую $PQ$.

206 Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.

Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — это накрест лежащие углы, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей.

Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы, образованные секущей, равны между собой. Таким образом, мы можем записать:
$\angle 1 = \angle 2$

По условию задачи, сумма этих двух углов составляет $210^\circ$:
$\angle 1 + \angle 2 = 210^\circ$

Поскольку углы равны, мы можем заменить в сумме $\angle 2$ на $\angle 1$:
$\angle 1 + \angle 1 = 210^\circ$
$2 \cdot \angle 1 = 210^\circ$

Чтобы найти величину каждого угла, нужно разделить общую сумму на 2:
$\angle 1 = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ$

Так как $\angle 1 = \angle 2$, то $\angle 2$ также равен $105^\circ$.

Ответ: каждый из этих углов равен $105^\circ$.

207 На рисунке 124 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1=42°, ∠2=140°, ∠3=138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?

Для того чтобы определить, какие из прямых a, b и c параллельны, мы будем сравнивать углы, образованные при их пересечении секущей d, используя признаки параллельности прямых. Основной признак, который мы будем использовать: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Сравнение прямых a и b

Рассмотрим прямые a и b и секущую d. Углы $?1$ и $?2$ даны по условию. Угол $?2$ является верхним левым углом при пересечении прямых b и d. Найдем соответственный ему угол на прямой a. Обозначим этот угол как $?4$. Угол $?4$ также является верхним левым углом, но на пересечении прямых a и d.

Угол $?4$ и данный угол $?1$ являются смежными, так как они лежат на прямой a и их сумма составляет $180^\circ$.

Вычислим величину угла $?4$:

$?4 = 180^\circ - ?1 = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$

Для того чтобы прямые a и b были параллельны, соответственные углы $?4$ и $?2$ должны быть равны. Сравним их значения:

$?4 = 138^\circ$

$?2 = 140^\circ$

Поскольку $?4 \neq ?2$ ($138^\circ \neq 140^\circ$), прямые a и b не параллельны.

Сравнение прямых b и c

Рассмотрим прямые b и c и секущую d. Углы $?2$ и $?3$ являются соответственными, так как оба занимают верхнее левое положение на своих пересечениях.

Сравним их значения:

$?2 = 140^\circ$

$?3 = 138^\circ$

Поскольку $?2 \neq ?3$ ($140^\circ \neq 138^\circ$), прямые b и c не параллельны.

Сравнение прямых a и c

Рассмотрим прямые a и c и секущую d. Угол $?3$ является верхним левым углом на пересечении прямых c и d. Соответственный ему угол на прямой a — это угол $?4$, который мы уже вычислили.

Сравним значения этих соответственных углов:

$?4 = 138^\circ$

$?3 = 138^\circ$

Поскольку $?4 = ?3$ ($138^\circ = 138^\circ$), прямые a и c параллельны.

Ответ: Параллельны прямые a и c.

208 Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если:

а) один из углов равен 150°;

б) один из углов на 70° больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образуется 8 углов. Все эти углы либо равны друг другу, либо их сумма составляет $180^\circ$. В общем случае образуется две группы по 4 равных угла. Углы из разных групп являются смежными или односторонними, и их сумма равна $180^\circ$.

а) один из углов равен 150°

Пусть один из образовавшихся углов, назовем его $\angle 1$, равен $150^\circ$. Тогда все углы, равные ему (вертикальный и соответственные/накрест лежащие), также будут равны $150^\circ$. Таких углов всего 4.
Другой угол, назовем его $\angle 2$, является смежным с углом $\angle 1$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно:
$\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$
$\angle 2 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$
Все углы, равные $\angle 2$, также будут равны $30^\circ$. Таких углов тоже 4.
Таким образом, при пересечении образуются четыре угла по $150^\circ$ и четыре угла по $30^\circ$.
Ответ: четыре угла по $150^\circ$ и четыре угла по $30^\circ$.

б) один из углов на 70° больше другого

Как было сказано выше, любые два угла, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, либо равны, либо их сумма равна $180^\circ$. Поскольку по условию один угол больше другого, они не могут быть равны. Значит, их сумма равна $180^\circ$.
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $x + 70^\circ$.
Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $180^\circ$:
$x + (x + 70^\circ) = 180^\circ$
$2x + 70^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 70^\circ$
$2x = 110^\circ$
$x = 55^\circ$
Это меньший угол. Теперь найдем больший угол:
$55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$
Таким образом, образуются четыре угла по $55^\circ$ и четыре угла по $125^\circ$.
Ответ: четыре угла по $125^\circ$ и четыре угла по $55^\circ$.

209 Концы отрезка AB лежат на параллельных прямых a и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = OD.

Для доказательства равенства $CO = OD$ рассмотрим треугольники $?AOC$ и $?BOD$.

1. По условию, точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Это значит, что $AO = OB$.

2. Углы $?AOC$ и $?BOD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AB$ и $CD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $?AOC = ?BOD$.

3. Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a || b$), а отрезок $AB$ является секущей. Углы $?CAO$ (или $?OAC$) и $?DBO$ (или $?OBD$) являются накрест лежащими углами при этих параллельных прямых и секущей. Следовательно, эти углы равны: $?OAC = ?OBD$.

Таким образом, мы сравнили треугольники $?AOC$ и $?BOD$ и установили, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:

• $AO = OB$
• $?OAC = ?OBD$
• $?AOC = ?BOD$

Следовательно, треугольники $?AOC$ и $?BOD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CO$ в $?AOC$ соответствует стороне $OD$ в $?BOD$. Значит, $CO = OD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $CO=OD$ доказано на основе равенства треугольников $?AOC$ и $?BOD$.

210 По данным рисунка 125 найдите ∠1.

Для решения задачи сначала определим, являются ли две горизонтальные прямые параллельными. Обозначим верхнюю горизонтальную прямую как $a$, нижнюю — как $b$, а левую наклонную прямую (секущую) — как $c$.

На рисунке указан внешний угол, равный $73°$. Угол, вертикальный ему, является внутренним углом. Обозначим его $\angle 2$. Так как вертикальные углы равны, то $\angle 2 = 73°$. Этот угол и угол, равный $107°$, являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Проверим сумму этих углов:$73° + 107° = 180°$.

Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180°$, то эти прямые параллельны. Следовательно, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Теперь, зная, что прямые $a$ и $b$ параллельны, рассмотрим правую секущую. Обозначим ее $d$. Нам нужно найти $\angle 1$.

Угол, равный $92°$, является внутренним углом при пересечении прямой $b$ и секущей $d$. Угол, вертикальный ему, является внешним углом и также равен $92°$. Этот внешний угол и искомый $\angle 1$ являются соответственными углами при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $d$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то соответственные углы равны. Следовательно, $\angle 1 = 92°$.

Ответ: $92°$.

211 ∠ABC = 70°, а ∠BCD = 110°. Могут ли прямые AB и CD быть:

а) параллельными;

б) пересекающимися?

а) параллельными;
Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BC$. Углы $?ABC$ и $?BCD$ являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $BC$.
Согласно признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180°$, то прямые параллельны.
Найдем сумму данных углов:
$?ABC + ?BCD = 70° + 110° = 180°$.
Поскольку сумма этих углов равна $180°$, прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).
Ответ: да, могут быть параллельными.

б) пересекающимися?
В евклидовой геометрии две различные прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо быть параллельными.
Как было установлено в пункте а), при заданных условиях прямые $AB$ и $CD$ являются параллельными, так как сумма внутренних односторонних углов при секущей $BC$ равна $180°$.
По определению, параллельные прямые не имеют общих точек, то есть не пересекаются.
Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ не могут быть пересекающимися.
Ответ: нет, не могут быть пересекающимися.

212 Ответьте на вопросы задачи 211, если ∠ABC = 65°, а ∠BCD = 105°.

В данной задаче рассматриваются две прямые a и b, пересеченные третьей прямой (секущей) BC. Углы $ \angle ABC $ и $ \angle BCD $ являются внутренними односторонними углами. Согласно условию, $ \angle ABC = 65^\circ $ и $ \angle BCD = 105^\circ $.

Для того чтобы ответить на вопросы, необходимо использовать признак параллельности прямых. Этот признак гласит, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов при пересечении их секущей равна $ 180^\circ $.

Вычислим сумму данных углов:

$ \angle ABC + \angle BCD = 65^\circ + 105^\circ = 170^\circ $.

а) Могут ли прямые a и b пересекаться?

Две прямые на плоскости могут либо быть параллельными, либо пересекаться. Поскольку сумма внутренних односторонних углов ($ 170^\circ $) не равна $ 180^\circ $, прямые a и b не параллельны. Из этого следует, что они должны пересекаться.

Ответ: да, прямые a и b пересекаются.

б) Могут ли прямые a и b быть параллельными?

Как было указано, для того чтобы прямые были параллельны, сумма их внутренних односторонних углов должна составлять $ 180^\circ $. В данном случае сумма равна $ 170^\circ $. Так как $ 170^\circ \neq 180^\circ $, прямые a и b не могут быть параллельными.

Ответ: нет, не могут.

213 Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые и секущая. Обозначим два односторонних угла, образованных при их пересечении, как $ \alpha $ и $ \beta $.

По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна 180°. Это дает нам первое уравнение:
$ \alpha + \beta = 180° $

Согласно условию задачи, разность этих углов равна 50°. Предположим, что $ \alpha $ — это больший угол. Тогда мы получаем второе уравнение:
$ \alpha - \beta = 50° $

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \alpha - \beta = 50° \end{cases} $

Для решения системы сложим оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $ \beta $:
$ (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180° + 50° $
$ 2\alpha = 230° $

Теперь найдем значение $ \alpha $:
$ \alpha = \frac{230°}{2} $
$ \alpha = 115° $

Подставим найденное значение $ \alpha $ в первое уравнение, чтобы найти $ \beta $:
$ 115° + \beta = 180° $
$ \beta = 180° - 115° $
$ \beta = 65° $

Таким образом, мы нашли два угла: 115° и 65°. Проверим, соответствует ли их разность условию задачи:
$ 115° - 65° = 50° $.
Условие выполняется.

Ответ: 115° и 65°.

214 На рисунке 126 а || b, c || d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, а также свойством смежных углов.

Угол 1

Рассмотрим параллельные прямые c и d, пересеченные секущей a. Введем вспомогательный угол $\angle 5$, который является вертикальным по отношению к углу $\angle 4$. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle 5 = \angle 4 = 45^\circ$. Углы $\angle 1$ и $\angle 5$ являются внутренними накрест лежащими. Так как прямые c и d параллельны ($c \parallel d$), то внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно, $\angle 1 = \angle 5 = 45^\circ$.

Ответ: $\angle 1 = 45^\circ$.

Угол 2

Рассмотрим параллельные прямые a и b, пересеченные секущей d. Введем вспомогательный угол $\angle 6$, который является соответственным углу $\angle 4$. Так как прямые a и b параллельны ($a \parallel b$), то соответственные углы равны: $\angle 6 = \angle 4 = 45^\circ$. Углы $\angle 2$ и $\angle 6$ являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle 2 = \angle 6$. Следовательно, $\angle 2 = 45^\circ$.

Ответ: $\angle 2 = 45^\circ$.

Угол 3

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол на прямой a. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Из этого следует соотношение: $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$. Подставив известное значение $\angle 4$, получим: $\angle 3 + 45^\circ = 180^\circ$. $\angle 3 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $\angle 3 = 135^\circ$.

215 Два тела Р₁ и Р₂ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки A и B (рис. 127). Третье тело Р₃ подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р₁ и Р₂. (При этом AP₁ || BP₂ || CP₃.) Докажите, что ∠ACB=∠CAP₁ +∠CBP₂.

Для доказательства воспользуемся свойством параллельных прямых. Согласно условию задачи, отрезки нити $AP_1$, $BP_2$ и $CP_3$ вертикальны. Это означает, что прямые, содержащие эти отрезки, параллельны друг другу.

Проведем через точку $C$ луч $CD$, направленный вертикально вниз. Поскольку $AP_1$ и $BP_2$ также вертикальны, то луч $CD$ будет параллелен прямым, содержащим отрезки $AP_1$ и $BP_2$.

Этот луч $CD$ проходит внутри угла $\angle ACB$ и делит его на два угла: $\angle ACD$ и $\angle BCD$. Согласно аксиоме измерения углов, можно записать:

$\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD \quad (1)$

Теперь рассмотрим параллельные прямые, содержащие отрезки $AP_1$ и $CD$, и секущую $AC$. Углы $\angle CAP_1$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны:

$\angle CAP_1 = \angle ACD \quad (2)$

Аналогично рассмотрим параллельные прямые, содержащие отрезки $BP_2$ и $CD$, и секущую $BC$. Углы $\angle CBP_2$ и $\angle BCD$ также являются внутренними накрест лежащими, и следовательно, они равны:

$\angle CBP_2 = \angle BCD \quad (3)$

Подставим равенства (2) и (3) в равенство (1), чтобы выразить $\angle ACB$ через искомые углы:

$\angle ACB = \angle CAP_1 + \angle CBP_2$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Доказательство основано на проведении через вершину $C$ угла $\angle ACB$ луча, параллельного двум другим вертикальным линиям ($AP_1$ и $BP_2$). Этот луч делит угол $\angle ACB$ на два угла, каждый из которых оказывается равен соответствующему углу ($\angle CAP_1$ или $\angle CBP_2$) как внутренний накрест лежащий угол при параллельных прямых и секущей. Сумма этих углов равна углу $\angle ACB$.