Номер 214, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 214, страница 66.

214 На рисунке 126 а || b, c || d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, а также свойством смежных углов.

Угол 1

Рассмотрим параллельные прямые c и d, пересеченные секущей a. Введем вспомогательный угол $\angle 5$, который является вертикальным по отношению к углу $\angle 4$. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle 5 = \angle 4 = 45^\circ$. Углы $\angle 1$ и $\angle 5$ являются внутренними накрест лежащими. Так как прямые c и d параллельны ($c \parallel d$), то внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно, $\angle 1 = \angle 5 = 45^\circ$.

Ответ: $\angle 1 = 45^\circ$.

Угол 2

Рассмотрим параллельные прямые a и b, пересеченные секущей d. Введем вспомогательный угол $\angle 6$, который является соответственным углу $\angle 4$. Так как прямые a и b параллельны ($a \parallel b$), то соответственные углы равны: $\angle 6 = \angle 4 = 45^\circ$. Углы $\angle 2$ и $\angle 6$ являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle 2 = \angle 6$. Следовательно, $\angle 2 = 45^\circ$.

Ответ: $\angle 2 = 45^\circ$.

Угол 3

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол на прямой a. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Из этого следует соотношение: $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$. Подставив известное значение $\angle 4$, получим: $\angle 3 + 45^\circ = 180^\circ$. $\angle 3 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $\angle 3 = 135^\circ$.