Номер 217, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами. § 2. Аксиома параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые - номер 217, страница 67.

217 Прямые, содержащие высоты АА₁ и ВВ₁ треугольника ABC, пересекаются в точке H, угол В — тупой, ∠С = 20°. Найдите угол АНВ.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой. Прямые, содержащие высоты $AA_1$ и $BB_1$, пересекаются в точке $H$. Точка $H$ является ортоцентром треугольника. Поскольку угол $B$ тупой, ортоцентр $H$ находится вне треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$: $ \angle AHB + \angle HAB + \angle HBA = 180^\circ $

Найдем углы $ \angle HAB $ и $ \angle HBA $.

1. Найдем угол $ \angle HAB $

Высота $AA_1$ перпендикулярна прямой $BC$. Так как угол $B$ — тупой, основание высоты $A_1$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$. Таким образом, точки $C$, $B$, $A_1$ лежат на одной прямой в указанном порядке.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1B$. Угол $ \angle AA_1B = 90^\circ $. Угол $ \angle ABA_1 $ является смежным с углом $ \angle ABC $, поэтому $ \angle ABA_1 = 180^\circ - \angle B $. Из суммы углов треугольника $AA_1B$: $ \angle A_1AB = 180^\circ - 90^\circ - \angle ABA_1 = 90^\circ - (180^\circ - \angle B) = \angle B - 90^\circ $.

Так как точки $A$, $H$, $A_1$ лежат на одной прямой (линии, содержащей высоту), то $ \angle HAB = \angle A_1AB = \angle B - 90^\circ $.

2. Найдем угол $ \angle HBA $

Высота $BB_1$ перпендикулярна стороне $AC$. Основание высоты $B_1$ лежит на стороне $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$. Угол $ \angle AB_1B = 90^\circ $. Из суммы углов этого треугольника: $ \angle ABB_1 = 180^\circ - 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \angle A $.

Ор­то­центр $H$ лежит на прямой $BB_1$. Так как угол $B$ — тупой, ор­то­центр $H$ и вер­ши­на $A$ лежат по разные сто­ро­ны от прямой $BC$. Также $H$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Это означает, что $H$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $AC$. Следовательно, точка $B_1$ лежит между точками $H$ и $B$. Таким образом, углы $ \angle HBA $ и $ \angle ABB_1 $ являются смежными. $ \angle HBA = 180^\circ - \angle ABB_1 = 180^\circ - (90^\circ - \angle A) = 90^\circ + \angle A $.

3. Найдем искомый угол $ \angle AHB $

Подставим найденные выражения для углов в формулу суммы углов треугольника $ABH$: $ \angle AHB + (\angle B - 90^\circ) + (90^\circ + \angle A) = 180^\circ $ $ \angle AHB + \angle B - 90^\circ + 90^\circ + \angle A = 180^\circ $ $ \angle AHB + \angle A + \angle B = 180^\circ $

Из суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $, откуда $ \angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C $.

Подставим это в наше уравнение: $ \angle AHB + (180^\circ - \angle C) = 180^\circ $ $ \angle AHB = 180^\circ - 180^\circ + \angle C $ $ \angle AHB = \angle C $

По условию $ \angle C = 20^\circ $. Следовательно, $ \angle AHB = 20^\circ $.

Ответ: 20°.